Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36459 / 38493
↖ ↑ ↗
← S 29.978729°
E 20.275268°		 ← 529.13 m → S 29.978729°
E 20.280762°		 →
↑
529.05 m
↓
↑
529.05 m
↓
S 29.983486°
E 20.275268°		 ← 529.10 m →
279 926 m²		 S 29.983486°
E 20.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556327819824219 y=0.587364196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556327819824219 × 216)
    floor (0.556327819824219 × 65536)
    floor (36459.5)     		tx = 36459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587364196777344 × 216)
    floor (0.587364196777344 × 65536)
    floor (38493.5)     		ty = 38493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36459 / 38493 ti = "16/36459/38493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36459/38493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36459 ÷ 216
    36459 ÷ 65536     		x = 0.556320190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38493 ÷ 216
    38493 ÷ 65536     		y = 0.587356567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556320190429688 × 2 - 1) × π
    0.112640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35387019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587356567382812 × 2 - 1) × π
    -0.174713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.548877500649643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35387019} λ = 0.35387019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548877500649643))-π/2
    2×atan(0.57759779978363)-π/2
    2×0.523784403645334-π/2
    1.04756880729067-1.57079632675     		φ = -0.52322752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35387019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.275268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52322752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.978729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36459 KachelY 38493 0.35387019 -0.52322752 20.275268 -29.978729
    Oben rechts KachelX + 1 36460 KachelY 38493 0.35396607 -0.52322752 20.280762 -29.978729
    Unten links KachelX 36459 KachelY + 1 38494 0.35387019 -0.52331056 20.275268 -29.983486
    Unten rechts KachelX + 1 36460 KachelY + 1 38494 0.35396607 -0.52331056 20.280762 -29.983486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52322752--0.52331056) × R
    8.30400000000342e-05 × 6371000     		dl = 529.047840000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52322752--0.52331056) × R
    8.30400000000342e-05 × 6371000     		dr = 529.047840000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35387019-0.35396607) × cos(-0.52322752) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.866210971896872 × 6371000     		do = 529.126254175709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35387019-0.35396607) × cos(-0.52331056) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.866169475611994 × 6371000     		du = 529.100906108676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52322752)-sin(-0.52331056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866210971896872-0.866169475611994)×R²
    abs(0.35396607-0.35387019)×4.14962848784839e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.14962848784839e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.14962848784839e-05×40589641000000     		ar = 279926.396849927m²