Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36459 / 105289
↖ ↑ ↗
← S 73.081039°
W 79.862366°		 ← 88.88 m → S 73.081039°
W 79.859619°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 73.081838°
W 79.862366°		 ← 88.88 m →
7 899 m²		 S 73.081838°
W 79.859619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278163909912109 y=0.803295135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278163909912109 × 217)
    floor (0.278163909912109 × 131072)
    floor (36459.5)     		tx = 36459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803295135498047 × 217)
    floor (0.803295135498047 × 131072)
    floor (105289.5)     		ty = 105289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36459 / 105289 ti = "17/36459/105289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36459/105289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36459 ÷ 217
    36459 ÷ 131072     		x = 0.278160095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105289 ÷ 217
    105289 ÷ 131072     		y = 0.803291320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278160095214844 × 2 - 1) × π
    -0.443679809570312 × 3.1415926535     		Λ = -1.39386123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803291320800781 × 2 - 1) × π
    -0.606582641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.90563557059609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39386123} λ = -1.39386123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90563557059609))-π/2
    2×atan(0.148728085378542)-π/2
    2×0.147645789825094-π/2
    0.295291579650189-1.57079632675     		φ = -1.27550475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39386123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.862366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27550475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.081039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36459 KachelY 105289 -1.39386123 -1.27550475 -79.862366 -73.081039
    Oben rechts KachelX + 1 36460 KachelY 105289 -1.39381329 -1.27550475 -79.859619 -73.081039
    Unten links KachelX 36459 KachelY + 1 105290 -1.39386123 -1.27551870 -79.862366 -73.081838
    Unten rechts KachelX + 1 36460 KachelY + 1 105290 -1.39381329 -1.27551870 -79.859619 -73.081838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27550475--1.27551870) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dl = 88.8754499988422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27550475--1.27551870) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dr = 88.8754499988422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39386123--1.39381329) × cos(-1.27550475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291018819062779 × 6371000     		do = 88.8846381661171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39386123--1.39381329) × cos(-1.27551870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291005472827728 × 6371000     		du = 88.8805618824006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27550475)-sin(-1.27551870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291018819062779-0.291005472827728)×R²
    abs(-1.39381329--1.39386123)×1.33462350506708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33462350506708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33462350506708e-05×40589641000000     		ar = 7899.48107434818m²