Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36458 / 102515
↖ ↑ ↗
← S 70.717192°
W 79.865112°		 ← 100.86 m → S 70.717192°
W 79.862366°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
S 70.718099°
W 79.865112°		 ← 100.86 m →
10 172 m²		 S 70.718099°
W 79.862366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278156280517578 y=0.782131195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278156280517578 × 217)
    floor (0.278156280517578 × 131072)
    floor (36458.5)     		tx = 36458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782131195068359 × 217)
    floor (0.782131195068359 × 131072)
    floor (102515.5)     		ty = 102515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36458 / 102515 ti = "17/36458/102515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36458/102515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36458 ÷ 217
    36458 ÷ 131072     		x = 0.278152465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102515 ÷ 217
    102515 ÷ 131072     		y = 0.782127380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278152465820312 × 2 - 1) × π
    -0.443695068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39390917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782127380371094 × 2 - 1) × π
    -0.564254760742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.77265861105006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39390917} λ = -1.39390917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77265861105006))-π/2
    2×atan(0.16988074110091)-π/2
    2×0.1682742457387-π/2
    0.336548491477399-1.57079632675     		φ = -1.23424784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39390917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.865112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23424784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.717192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36458 KachelY 102515 -1.39390917 -1.23424784 -79.865112 -70.717192
    Oben rechts KachelX + 1 36459 KachelY 102515 -1.39386123 -1.23424784 -79.862366 -70.717192
    Unten links KachelX 36458 KachelY + 1 102516 -1.39390917 -1.23426367 -79.865112 -70.718099
    Unten rechts KachelX + 1 36459 KachelY + 1 102516 -1.39386123 -1.23426367 -79.862366 -70.718099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23424784--1.23426367) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dl = 100.852929999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23424784--1.23426367) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dr = 100.852929999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39390917--1.39386123) × cos(-1.23424784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330231182019759 × 6371000     		do = 100.861103139393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39390917--1.39386123) × cos(-1.23426367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330216240040072 × 6371000     		du = 100.85653947419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23424784)-sin(-1.23426367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330231182019759-0.330216240040072)×R²
    abs(-1.39386123--1.39390917)×1.49419796870998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49419796870998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49419796870998e-05×40589641000000     		ar = 10171.9076452827m²