Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36454 / 27749
↖ ↑ ↗
← N 26.563963°
E 20.247803°		 ← 546.37 m → N 26.563963°
E 20.253296°		 →
↑
546.31 m
↓
↑
546.31 m
↓
N 26.559050°
E 20.247803°		 ← 546.39 m →
298 494 m²		 N 26.559050°
E 20.253296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556251525878906 y=0.423423767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556251525878906 × 216)
    floor (0.556251525878906 × 65536)
    floor (36454.5)     		tx = 36454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423423767089844 × 216)
    floor (0.423423767089844 × 65536)
    floor (27749.5)     		ty = 27749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36454 / 27749 ti = "16/36454/27749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36454/27749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36454 ÷ 216
    36454 ÷ 65536     		x = 0.556243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27749 ÷ 216
    27749 ÷ 65536     		y = 0.423416137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556243896484375 × 2 - 1) × π
    0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423416137695312 × 2 - 1) × π
    0.153167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.481190598386124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35339082} λ = 0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481190598386124))-π/2
    2×atan(1.61799964363525)-π/2
    2×1.01721247499583-π/2
    2.03442494999165-1.57079632675     		φ = 0.46362862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46362862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.563963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36454 KachelY 27749 0.35339082 0.46362862 20.247803 26.563963
    Oben rechts KachelX + 1 36455 KachelY 27749 0.35348670 0.46362862 20.253296 26.563963
    Unten links KachelX 36454 KachelY + 1 27750 0.35339082 0.46354287 20.247803 26.559050
    Unten rechts KachelX + 1 36455 KachelY + 1 27750 0.35348670 0.46354287 20.253296 26.559050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46362862-0.46354287) × R
    8.57499999999956e-05 × 6371000     		dl = 546.313249999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46362862-0.46354287) × R
    8.57499999999956e-05 × 6371000     		dr = 546.313249999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35339082-0.35348670) × cos(0.46362862) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894435682977984 × 6371000     		do = 546.36736071187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35339082-0.35348670) × cos(0.46354287) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894474026798921 × 6371000     		du = 546.390783091639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46362862)-sin(0.46354287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894435682977984-0.894474026798921)×R²
    abs(0.35348670-0.35339082)×3.83438209375919e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83438209375919e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83438209375919e-05×40589641000000     		ar = 298494.12668558m²