Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36453 / 102626
↖ ↑ ↗
← S 70.817617°
W 79.878845°		 ← 100.36 m → S 70.817617°
W 79.876098°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
S 70.818520°
W 79.878845°		 ← 100.35 m →
10 070 m²		 S 70.818520°
W 79.876098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278118133544922 y=0.782978057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278118133544922 × 217)
    floor (0.278118133544922 × 131072)
    floor (36453.5)     		tx = 36453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782978057861328 × 217)
    floor (0.782978057861328 × 131072)
    floor (102626.5)     		ty = 102626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36453 / 102626 ti = "17/36453/102626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36453/102626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36453 ÷ 217
    36453 ÷ 131072     		x = 0.278114318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102626 ÷ 217
    102626 ÷ 131072     		y = 0.782974243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278114318847656 × 2 - 1) × π
    -0.443771362304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.39414885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782974243164062 × 2 - 1) × π
    -0.565948486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77797960690788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39414885} λ = -1.39414885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77797960690788))-π/2
    2×atan(0.168979207037788)-π/2
    2×0.167397869438687-π/2
    0.334795738877375-1.57079632675     		φ = -1.23600059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39414885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.878845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23600059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.817617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36453 KachelY 102626 -1.39414885 -1.23600059 -79.878845 -70.817617
    Oben rechts KachelX + 1 36454 KachelY 102626 -1.39410091 -1.23600059 -79.876098 -70.817617
    Unten links KachelX 36453 KachelY + 1 102627 -1.39414885 -1.23601634 -79.878845 -70.818520
    Unten rechts KachelX + 1 36454 KachelY + 1 102627 -1.39410091 -1.23601634 -79.876098 -70.818520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23600059--1.23601634) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23600059--1.23601634) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39414885--1.39410091) × cos(-1.23600059) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.328576254739773 × 6371000     		do = 100.355645750723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39414885--1.39410091) × cos(-1.23601634) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.328561379179255 × 6371000     		du = 100.351102371644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23600059)-sin(-1.23601634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328576254739773-0.328561379179255)×R²
    abs(-1.39410091--1.39414885)×1.48755605177686e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.48755605177686e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.48755605177686e-05×40589641000000     		ar = 10069.7837019442m²