Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36450 / 105440
↖ ↑ ↗
← S 73.201317°
W 79.887085°		 ← 88.25 m → S 73.201317°
W 79.884339°		 →
↑
88.24 m
↓
↑
88.24 m
↓
S 73.202111°
W 79.887085°		 ← 88.25 m →
7 787 m²		 S 73.202111°
W 79.884339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278095245361328 y=0.804447174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278095245361328 × 217)
    floor (0.278095245361328 × 131072)
    floor (36450.5)     		tx = 36450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804447174072266 × 217)
    floor (0.804447174072266 × 131072)
    floor (105440.5)     		ty = 105440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36450 / 105440 ti = "17/36450/105440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36450/105440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36450 ÷ 217
    36450 ÷ 131072     		x = 0.278091430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105440 ÷ 217
    105440 ÷ 131072     		y = 0.804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278091430664062 × 2 - 1) × π
    -0.443817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39429266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.60888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.91287404243872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39429266} λ = -1.39429266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91287404243872))-π/2
    2×atan(0.14765540827544)-π/2
    2×0.146596163442569-π/2
    0.293192326885137-1.57079632675     		φ = -1.27760400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39429266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.887085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27760400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.201317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36450 KachelY 105440 -1.39429266 -1.27760400 -79.887085 -73.201317
    Oben rechts KachelX + 1 36451 KachelY 105440 -1.39424473 -1.27760400 -79.884339 -73.201317
    Unten links KachelX 36450 KachelY + 1 105441 -1.39429266 -1.27761785 -79.887085 -73.202111
    Unten rechts KachelX + 1 36451 KachelY + 1 105441 -1.39424473 -1.27761785 -79.884339 -73.202111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27760400--1.27761785) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dl = 88.2383499998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27760400--1.27761785) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dr = 88.2383499998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39429266--1.39424473) × cos(-1.27760400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289009790447721 × 6371000     		do = 88.2526163010447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39429266--1.39424473) × cos(-1.27761785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.288996531452943 × 6371000     		du = 88.2485675074837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27760400)-sin(-1.27761785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289009790447721-0.288996531452943)×R²
    abs(-1.39424473--1.39429266)×1.32589947773876e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32589947773876e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32589947773876e-05×40589641000000     		ar = 7787.08661623657m²