Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36450 / 105182
↖ ↑ ↗
← S 72.995303°
W 79.887085°		 ← 89.30 m → S 72.995303°
W 79.884339°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 72.996106°
W 79.887085°		 ← 89.30 m →
7 977 m²		 S 72.996106°
W 79.884339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278095245361328 y=0.802478790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278095245361328 × 217)
    floor (0.278095245361328 × 131072)
    floor (36450.5)     		tx = 36450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802478790283203 × 217)
    floor (0.802478790283203 × 131072)
    floor (105182.5)     		ty = 105182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36450 / 105182 ti = "17/36450/105182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36450/105182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36450 ÷ 217
    36450 ÷ 131072     		x = 0.278091430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105182 ÷ 217
    105182 ÷ 131072     		y = 0.802474975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278091430664062 × 2 - 1) × π
    -0.443817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39429266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.604949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90050632233675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39429266} λ = -1.39429266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90050632233675))-π/2
    2×atan(0.149492908458489)-π/2
    2×0.148393977707049-π/2
    0.296787955414099-1.57079632675     		φ = -1.27400837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39429266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.887085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27400837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.995303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36450 KachelY 105182 -1.39429266 -1.27400837 -79.887085 -72.995303
    Oben rechts KachelX + 1 36451 KachelY 105182 -1.39424473 -1.27400837 -79.884339 -72.995303
    Unten links KachelX 36450 KachelY + 1 105183 -1.39429266 -1.27402239 -79.887085 -72.996106
    Unten rechts KachelX + 1 36451 KachelY + 1 105183 -1.39424473 -1.27402239 -79.884339 -72.996106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27400837--1.27402239) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27400837--1.27402239) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39429266--1.39424473) × cos(-1.27400837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292450105386982 × 6371000     		do = 89.3031578547374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39429266--1.39424473) × cos(-1.27402239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292436698301663 × 6371000     		du = 89.2990638399481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27400837)-sin(-1.27402239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292450105386982-0.292436698301663)×R²
    abs(-1.39424473--1.39429266)×1.34070853187729e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34070853187729e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34070853187729e-05×40589641000000     		ar = 7976.50202870648m²