Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3645 / 4544
↖ ↑ ↗
← N 62.267923°
W 99.909668°		 ← 1 136.92 m → N 62.267923°
W 99.887696°		 →
↑
1 137.16 m
↓
↑
1 137.16 m
↓
N 62.257696°
W 99.909668°		 ← 1 137.31 m →
1 293 079 m²		 N 62.257696°
W 99.887696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222503662109375 y=0.277374267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222503662109375 × 214)
    floor (0.222503662109375 × 16384)
    floor (3645.5)     		tx = 3645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277374267578125 × 214)
    floor (0.277374267578125 × 16384)
    floor (4544.5)     		ty = 4544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3645 / 4544 ti = "14/3645/4544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3645/4544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3645 ÷ 214
    3645 ÷ 16384     		x = 0.22247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4544 ÷ 214
    4544 ÷ 16384     		y = 0.27734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.5550537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74375266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27734375 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74375266} λ = -1.74375266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39899047851172))-π/2
    2×atan(4.05110822103903)-π/2
    2×1.32878829751836-π/2
    2.65757659503671-1.57079632675     		φ = 1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74375266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3645 KachelY 4544 -1.74375266 1.08678027 -99.909668 62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 3646 KachelY 4544 -1.74336917 1.08678027 -99.887696 62.267923
    Unten links KachelX 3645 KachelY + 1 4545 -1.74375266 1.08660178 -99.909668 62.257696
    Unten rechts KachelX + 1 3646 KachelY + 1 4545 -1.74336917 1.08660178 -99.887696 62.257696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08678027-1.08660178) × R
    0.00017848999999992 × 6371000     		dl = 1137.15978999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08678027-1.08660178) × R
    0.00017848999999992 × 6371000     		dr = 1137.15978999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74375266--1.74336917) × cos(1.08678027) × R
    0.000383489999999931 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 1136.91986304277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74375266--1.74336917) × cos(1.08660178) × R
    0.000383489999999931 × 0.465495644025023 × 6371000     		du = 1137.3058421623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08678027)-sin(1.08660178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.465495644025023)×R²
    abs(-1.74336917--1.74375266)×0.000157980019242165×R²
    0.000383489999999931×0.000157980019242165×6371000²
    0.000383489999999931×0.000157980019242165×40589641000000     		ar = 1293079.0161051m²