Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3645 / 2659
↖ ↑ ↗
← N 76.336334°
W 99.909668°		 ← 577.14 m → N 76.336334°
W 99.887696°		 →
↑
577.21 m
↓
↑
577.21 m
↓
N 76.331143°
W 99.909668°		 ← 577.36 m →
333 195 m²		 N 76.331143°
W 99.887696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222503662109375 y=0.162322998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222503662109375 × 214)
    floor (0.222503662109375 × 16384)
    floor (3645.5)     		tx = 3645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162322998046875 × 214)
    floor (0.162322998046875 × 16384)
    floor (2659.5)     		ty = 2659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3645 / 2659 ti = "14/3645/2659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3645/2659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3645 ÷ 214
    3645 ÷ 16384     		x = 0.22247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2659 ÷ 214
    2659 ÷ 16384     		y = 0.16229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.5550537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74375266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16229248046875 × 2 - 1) × π
    0.6754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12187892478217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74375266} λ = -1.74375266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12187892478217))-π/2
    2×atan(8.34680578354207)-π/2
    2×1.45155834574999-π/2
    2.90311669149998-1.57079632675     		φ = 1.33232036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74375266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33232036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.336334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3645 KachelY 2659 -1.74375266 1.33232036 -99.909668 76.336334
    Oben rechts KachelX + 1 3646 KachelY 2659 -1.74336917 1.33232036 -99.887696 76.336334
    Unten links KachelX 3645 KachelY + 1 2660 -1.74375266 1.33222976 -99.909668 76.331143
    Unten rechts KachelX + 1 3646 KachelY + 1 2660 -1.74336917 1.33222976 -99.887696 76.331143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33232036-1.33222976) × R
    9.06000000000518e-05 × 6371000     		dl = 577.21260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33232036-1.33222976) × R
    9.06000000000518e-05 × 6371000     		dr = 577.21260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74375266--1.74336917) × cos(1.33232036) × R
    0.000383489999999931 × 0.236221999619962 × 6371000     		do = 577.141083194762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74375266--1.74336917) × cos(1.33222976) × R
    0.000383489999999931 × 0.236310034590014 × 6371000     		du = 577.35617153563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33232036)-sin(1.33222976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236221999619962-0.236310034590014)×R²
    abs(-1.74336917--1.74375266)×8.80349700519978e-05×R²
    0.000383489999999931×8.80349700519978e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.80349700519978e-05×40589641000000     		ar = 333195.181276194m²