Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3645 / 2251
↖ ↑ ↗
← N 62.694309°
W 19.819336°		 ← 2 241.62 m → N 62.694309°
W 19.775391°		 →
↑
2 242.34 m
↓
↑
2 242.34 m
↓
N 62.674144°
W 19.819336°		 ← 2 243.15 m →
5 028 179 m²		 N 62.674144°
W 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44500732421875 y=0.27484130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44500732421875 × 213)
    floor (0.44500732421875 × 8192)
    floor (3645.5)     		tx = 3645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27484130859375 × 213)
    floor (0.27484130859375 × 8192)
    floor (2251.5)     		ty = 2251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3645 / 2251 ti = "13/3645/2251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3645/2251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3645 ÷ 213
    3645 ÷ 8192     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2251 ÷ 213
    2251 ÷ 8192     		y = 0.2747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2747802734375 × 2 - 1) × π
    0.450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41509727678406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41509727678406))-π/2
    2×atan(4.11688692401561)-π/2
    2×1.33250922572522-π/2
    2.66501845145043-1.57079632675     		φ = 1.09422212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09422212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.694309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3645 KachelY 2251 -0.34591267 1.09422212 -19.819336 62.694309
    Oben rechts KachelX + 1 3646 KachelY 2251 -0.34514568 1.09422212 -19.775391 62.694309
    Unten links KachelX 3645 KachelY + 1 2252 -0.34591267 1.09387016 -19.819336 62.674144
    Unten rechts KachelX + 1 3646 KachelY + 1 2252 -0.34514568 1.09387016 -19.775391 62.674144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09422212-1.09387016) × R
    0.000351959999999929 × 6371000     		dl = 2242.33715999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09422212-1.09387016) × R
    0.000351959999999929 × 6371000     		dr = 2242.33715999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34514568) × cos(1.09422212) × R
    0.000766989999999967 × 0.458737810574518 × 6371000     		do = 2241.61923324158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34514568) × cos(1.09387016) × R
    0.000766989999999967 × 0.459050523841437 × 6371000     		du = 2243.14730452207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09422212)-sin(1.09387016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458737810574518-0.459050523841437)×R²
    abs(-0.34514568--0.34591267)×0.000312713266918507×R²
    0.000766989999999967×0.000312713266918507×6371000²
    0.000766989999999967×0.000312713266918507×40589641000000     		ar = 5028179.38267981m²