Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3645 / 1834
↖ ↑ ↗
← N 69.990535°
W 19.819336°		 ← 1 672.04 m → N 69.990535°
W 19.775391°		 →
↑
1 672.64 m
↓
↑
1 672.64 m
↓
N 69.975493°
W 19.819336°		 ← 1 673.24 m →
2 797 729 m²		 N 69.975493°
W 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44500732421875 y=0.22393798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44500732421875 × 213)
    floor (0.44500732421875 × 8192)
    floor (3645.5)     		tx = 3645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22393798828125 × 213)
    floor (0.22393798828125 × 8192)
    floor (1834.5)     		ty = 1834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3645 / 1834 ti = "13/3645/1834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3645/1834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3645 ÷ 213
    3645 ÷ 8192     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1834 ÷ 213
    1834 ÷ 8192     		y = 0.223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223876953125 × 2 - 1) × π
    0.55224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73493227104907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73493227104907))-π/2
    2×atan(5.66854386627393)-π/2
    2×1.3961808035265-π/2
    2.79236160705299-1.57079632675     		φ = 1.22156528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22156528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.990535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3645 KachelY 1834 -0.34591267 1.22156528 -19.819336 69.990535
    Oben rechts KachelX + 1 3646 KachelY 1834 -0.34514568 1.22156528 -19.775391 69.990535
    Unten links KachelX 3645 KachelY + 1 1835 -0.34591267 1.22130274 -19.819336 69.975493
    Unten rechts KachelX + 1 3646 KachelY + 1 1835 -0.34514568 1.22130274 -19.775391 69.975493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22156528-1.22130274) × R
    0.000262540000000033 × 6371000     		dl = 1672.64234000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22156528-1.22130274) × R
    0.000262540000000033 × 6371000     		dr = 1672.64234000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34514568) × cos(1.22156528) × R
    0.000766989999999967 × 0.342175372492454 × 6371000     		do = 1672.03766168756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34514568) × cos(1.22130274) × R
    0.000766989999999967 × 0.342422052760671 × 6371000     		du = 1673.24306316297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22156528)-sin(1.22130274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342175372492454-0.342422052760671)×R²
    abs(-0.34514568--0.34591267)×0.000246680268217059×R²
    0.000766989999999967×0.000246680268217059×6371000²
    0.000766989999999967×0.000246680268217059×40589641000000     		ar = 2797729.10585591m²