Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36449 / 105441
↖ ↑ ↗
← S 73.202111°
W 79.889832°		 ← 88.27 m → S 73.202111°
W 79.887085°		 →
↑
88.30 m
↓
↑
88.30 m
↓
S 73.202905°
W 79.889832°		 ← 88.26 m →
7 794 m²		 S 73.202905°
W 79.887085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278087615966797 y=0.804454803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278087615966797 × 217)
    floor (0.278087615966797 × 131072)
    floor (36449.5)     		tx = 36449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804454803466797 × 217)
    floor (0.804454803466797 × 131072)
    floor (105441.5)     		ty = 105441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36449 / 105441 ti = "17/36449/105441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36449/105441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36449 ÷ 217
    36449 ÷ 131072     		x = 0.278083801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105441 ÷ 217
    105441 ÷ 131072     		y = 0.804450988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278083801269531 × 2 - 1) × π
    -0.443832397460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.39434060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804450988769531 × 2 - 1) × π
    -0.608901977539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.91292197933834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39434060} λ = -1.39434060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91292197933834))-π/2
    2×atan(0.147648330302604)-π/2
    2×0.146589236484854-π/2
    0.293178472969709-1.57079632675     		φ = -1.27761785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39434060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.889832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27761785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.202111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36449 KachelY 105441 -1.39434060 -1.27761785 -79.889832 -73.202111
    Oben rechts KachelX + 1 36450 KachelY 105441 -1.39429266 -1.27761785 -79.887085 -73.202111
    Unten links KachelX 36449 KachelY + 1 105442 -1.39434060 -1.27763171 -79.889832 -73.202905
    Unten rechts KachelX + 1 36450 KachelY + 1 105442 -1.39429266 -1.27763171 -79.887085 -73.202905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27761785--1.27763171) × R
    1.38600000001432e-05 × 6371000     		dl = 88.3020600009123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27761785--1.27763171) × R
    1.38600000001432e-05 × 6371000     		dr = 88.3020600009123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39434060--1.39429266) × cos(-1.27761785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288996531452943 × 6371000     		do = 88.2669794763906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39434060--1.39429266) × cos(-1.27763171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288983262829388 × 6371000     		du = 88.2629268972226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27761785)-sin(-1.27763171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288996531452943-0.288983262829388)×R²
    abs(-1.39429266--1.39434060)×1.32686235549961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32686235549961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32686235549961e-05×40589641000000     		ar = 7793.97719238348m²