Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36448 / 105186
↖ ↑ ↗
← S 72.998515°
W 79.892578°		 ← 89.31 m → S 72.998515°
W 79.889832°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 72.999319°
W 79.892578°		 ← 89.30 m →
7 977 m²		 S 72.999319°
W 79.889832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278079986572266 y=0.802509307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278079986572266 × 217)
    floor (0.278079986572266 × 131072)
    floor (36448.5)     		tx = 36448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802509307861328 × 217)
    floor (0.802509307861328 × 131072)
    floor (105186.5)     		ty = 105186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36448 / 105186 ti = "17/36448/105186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36448/105186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36448 ÷ 217
    36448 ÷ 131072     		x = 0.278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105186 ÷ 217
    105186 ÷ 131072     		y = 0.802505493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.44384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39438854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802505493164062 × 2 - 1) × π
    -0.605010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90069806993523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39438854} λ = -1.39438854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90069806993523))-π/2
    2×atan(0.14946424630034)-π/2
    2×0.148365941974957-π/2
    0.296731883949915-1.57079632675     		φ = -1.27406444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39438854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27406444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.998515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36448 KachelY 105186 -1.39438854 -1.27406444 -79.892578 -72.998515
    Oben rechts KachelX + 1 36449 KachelY 105186 -1.39434060 -1.27406444 -79.889832 -72.998515
    Unten links KachelX 36448 KachelY + 1 105187 -1.39438854 -1.27407846 -79.892578 -72.999319
    Unten rechts KachelX + 1 36449 KachelY + 1 105187 -1.39434060 -1.27407846 -79.889832 -72.999319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27406444--1.27407846) × R
    1.40199999998369e-05 × 6371000     		dl = 89.3214199989611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27406444--1.27407846) × R
    1.40199999998369e-05 × 6371000     		dr = 89.3214199989611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39438854--1.39434060) × cos(-1.27406444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292396486263801 × 6371000     		do = 89.3054131904626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39438854--1.39434060) × cos(-1.27407846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292383078948613 × 6371000     		du = 89.3013182512999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27406444)-sin(-1.27407846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292396486263801-0.292383078948613)×R²
    abs(-1.39434060--1.39438854)×1.34073151876746e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34073151876746e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34073151876746e-05×40589641000000     		ar = 7976.70343709314m²