Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36447 / 105439
↖ ↑ ↗
← S 73.200524°
W 79.895325°		 ← 88.26 m → S 73.200524°
W 79.892578°		 →
↑
88.24 m
↓
↑
88.24 m
↓
S 73.201317°
W 79.895325°		 ← 88.25 m →
7 787 m²		 S 73.201317°
W 79.892578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278072357177734 y=0.804439544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278072357177734 × 217)
    floor (0.278072357177734 × 131072)
    floor (36447.5)     		tx = 36447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804439544677734 × 217)
    floor (0.804439544677734 × 131072)
    floor (105439.5)     		ty = 105439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36447 / 105439 ti = "17/36447/105439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36447/105439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36447 ÷ 217
    36447 ÷ 131072     		x = 0.278068542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105439 ÷ 217
    105439 ÷ 131072     		y = 0.804435729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278068542480469 × 2 - 1) × π
    -0.443862915039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39443647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804435729980469 × 2 - 1) × π
    -0.608871459960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.9128261055391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39443647} λ = -1.39443647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9128261055391))-π/2
    2×atan(0.147662486587579)-π/2
    2×0.146603090718177-π/2
    0.293206181436354-1.57079632675     		φ = -1.27759015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39443647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.895325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27759015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.200524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36447 KachelY 105439 -1.39443647 -1.27759015 -79.895325 -73.200524
    Oben rechts KachelX + 1 36448 KachelY 105439 -1.39438854 -1.27759015 -79.892578 -73.200524
    Unten links KachelX 36447 KachelY + 1 105440 -1.39443647 -1.27760400 -79.895325 -73.201317
    Unten rechts KachelX + 1 36448 KachelY + 1 105440 -1.39438854 -1.27760400 -79.892578 -73.201317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27759015--1.27760400) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dl = 88.2383499998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27759015--1.27760400) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dr = 88.2383499998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39443647--1.39438854) × cos(-1.27759015) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28902304938706 × 6371000     		do = 88.2566650776768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39443647--1.39438854) × cos(-1.27760400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289009790447721 × 6371000     		du = 88.2526163010447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27759015)-sin(-1.27760400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28902304938706-0.289009790447721)×R²
    abs(-1.39438854--1.39443647)×1.32589393387894e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32589393387894e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32589393387894e-05×40589641000000     		ar = 7787.4438745061m²