Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36445 / 48041
↖ ↑ ↗
← S 63.959085°
E 20.198364°		 ← 268.14 m → S 63.959085°
E 20.203857°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
S 63.961497°
E 20.198364°		 ← 268.12 m →
71 901 m²		 S 63.961497°
E 20.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556114196777344 y=0.733055114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556114196777344 × 216)
    floor (0.556114196777344 × 65536)
    floor (36445.5)     		tx = 36445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733055114746094 × 216)
    floor (0.733055114746094 × 65536)
    floor (48041.5)     		ty = 48041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36445 / 48041 ti = "16/36445/48041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36445/48041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36445 ÷ 216
    36445 ÷ 65536     		x = 0.556106567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48041 ÷ 216
    48041 ÷ 65536     		y = 0.733047485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556106567382812 × 2 - 1) × π
    0.112213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35252796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733047485351562 × 2 - 1) × π
    -0.466094970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46428053579424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35252796} λ = 0.35252796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46428053579424))-π/2
    2×atan(0.231244303641589)-π/2
    2×0.227249853412475-π/2
    0.45449970682495-1.57079632675     		φ = -1.11629662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35252796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.198364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11629662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.959085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36445 KachelY 48041 0.35252796 -1.11629662 20.198364 -63.959085
    Oben rechts KachelX + 1 36446 KachelY 48041 0.35262383 -1.11629662 20.203857 -63.959085
    Unten links KachelX 36445 KachelY + 1 48042 0.35252796 -1.11633871 20.198364 -63.961497
    Unten rechts KachelX + 1 36446 KachelY + 1 48042 0.35262383 -1.11633871 20.203857 -63.961497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11629662--1.11633871) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dl = 268.155389999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11629662--1.11633871) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dr = 268.155389999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35252796-0.35262383) × cos(-1.11629662) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.43901286493856 × 6371000     		do = 268.143688777284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35252796-0.35262383) × cos(-1.11633871) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.438975047493848 × 6371000     		du = 268.120590344561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11629662)-sin(-1.11633871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43901286493856-0.438975047493848)×R²
    abs(0.35262383-0.35252796)×3.78174447113189e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.78174447113189e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.78174447113189e-05×40589641000000     		ar = 71901.0784661376m²