Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36445 / 102612
↖ ↑ ↗
← S 70.804978°
W 79.900818°		 ← 100.42 m → S 70.804978°
W 79.898071°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
S 70.805882°
W 79.900818°		 ← 100.41 m →
10 089 m²		 S 70.805882°
W 79.898071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278057098388672 y=0.782871246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278057098388672 × 217)
    floor (0.278057098388672 × 131072)
    floor (36445.5)     		tx = 36445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782871246337891 × 217)
    floor (0.782871246337891 × 131072)
    floor (102612.5)     		ty = 102612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36445 / 102612 ti = "17/36445/102612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36445/102612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36445 ÷ 217
    36445 ÷ 131072     		x = 0.278053283691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102612 ÷ 217
    102612 ÷ 131072     		y = 0.782867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278053283691406 × 2 - 1) × π
    -0.443893432617188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39453235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.56573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7773084903132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39453235} λ = -1.39453235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7773084903132))-π/2
    2×atan(0.169092649850207)-π/2
    2×0.167508160877709-π/2
    0.335016321755419-1.57079632675     		φ = -1.23578000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39453235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.900818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23578000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.804978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36445 KachelY 102612 -1.39453235 -1.23578000 -79.900818 -70.804978
    Oben rechts KachelX + 1 36446 KachelY 102612 -1.39448441 -1.23578000 -79.898071 -70.804978
    Unten links KachelX 36445 KachelY + 1 102613 -1.39453235 -1.23579577 -79.900818 -70.805882
    Unten rechts KachelX + 1 36446 KachelY + 1 102613 -1.39448441 -1.23579577 -79.898071 -70.805882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23578000--1.23579577) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dl = 100.470669999105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23578000--1.23579577) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dr = 100.470669999105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39453235--1.39448441) × cos(-1.23578000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328784589023507 × 6371000     		do = 100.419276403035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39453235--1.39448441) × cos(-1.23579577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328769695716693 × 6371000     		du = 100.41472760378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23578000)-sin(-1.23579577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328784589023507-0.328769695716693)×R²
    abs(-1.39448441--1.39453235)×1.48933068139789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48933068139789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48933068139789e-05×40589641000000     		ar = 10088.9634708009m²