Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36442 / 48042
↖ ↑ ↗
← S 63.961497°
E 20.181885°		 ← 268.12 m → S 63.961497°
E 20.187378°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
S 63.963908°
E 20.181885°		 ← 268.10 m →
71 878 m²		 S 63.963908°
E 20.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556068420410156 y=0.733070373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556068420410156 × 216)
    floor (0.556068420410156 × 65536)
    floor (36442.5)     		tx = 36442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733070373535156 × 216)
    floor (0.733070373535156 × 65536)
    floor (48042.5)     		ty = 48042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36442 / 48042 ti = "16/36442/48042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36442/48042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36442 ÷ 216
    36442 ÷ 65536     		x = 0.556060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48042 ÷ 216
    48042 ÷ 65536     		y = 0.733062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556060791015625 × 2 - 1) × π
    0.11212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35224034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.46612548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46437640959348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35224034} λ = 0.35224034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46437640959348))-π/2
    2×atan(0.231222134434386)-π/2
    2×0.227228809403228-π/2
    0.454457618806456-1.57079632675     		φ = -1.11633871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35224034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11633871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.961497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36442 KachelY 48042 0.35224034 -1.11633871 20.181885 -63.961497
    Oben rechts KachelX + 1 36443 KachelY 48042 0.35233621 -1.11633871 20.187378 -63.961497
    Unten links KachelX 36442 KachelY + 1 48043 0.35224034 -1.11638079 20.181885 -63.963908
    Unten rechts KachelX + 1 36443 KachelY + 1 48043 0.35233621 -1.11638079 20.187378 -63.963908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11633871--1.11638079) × R
    4.20800000000554e-05 × 6371000     		dl = 268.091680000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11633871--1.11638079) × R
    4.20800000000554e-05 × 6371000     		dr = 268.091680000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35224034-0.35233621) × cos(-1.11633871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438975047493848 × 6371000     		do = 268.120590344406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35224034-0.35233621) × cos(-1.11638079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43893723825664 × 6371000     		du = 268.097496924726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11633871)-sin(-1.11638079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438975047493848-0.43893723825664)×R²
    abs(0.35233621-0.35224034)×3.78092372083638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78092372083638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78092372083638e-05×40589641000000     		ar = 71877.8039419101m²