Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36441 / 102499
↖ ↑ ↗
← S 70.702675°
W 79.911804°		 ← 100.91 m → S 70.702675°
W 79.909058°		 →
↑
100.92 m
↓
↑
100.92 m
↓
S 70.703582°
W 79.911804°		 ← 100.91 m →
10 184 m²		 S 70.703582°
W 79.909058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278026580810547 y=0.782009124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278026580810547 × 217)
    floor (0.278026580810547 × 131072)
    floor (36441.5)     		tx = 36441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782009124755859 × 217)
    floor (0.782009124755859 × 131072)
    floor (102499.5)     		ty = 102499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36441 / 102499 ti = "17/36441/102499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36441/102499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36441 ÷ 217
    36441 ÷ 131072     		x = 0.278022766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102499 ÷ 217
    102499 ÷ 131072     		y = 0.782005310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278022766113281 × 2 - 1) × π
    -0.443954467773438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39472409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782005310058594 × 2 - 1) × π
    -0.564010620117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.77189162065614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39472409} λ = -1.39472409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77189162065614))-π/2
    2×atan(0.170011087978458)-π/2
    2×0.168400933664338-π/2
    0.336801867328677-1.57079632675     		φ = -1.23399446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39472409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.911804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23399446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.702675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36441 KachelY 102499 -1.39472409 -1.23399446 -79.911804 -70.702675
    Oben rechts KachelX + 1 36442 KachelY 102499 -1.39467616 -1.23399446 -79.909058 -70.702675
    Unten links KachelX 36441 KachelY + 1 102500 -1.39472409 -1.23401030 -79.911804 -70.703582
    Unten rechts KachelX + 1 36442 KachelY + 1 102500 -1.39467616 -1.23401030 -79.909058 -70.703582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23399446--1.23401030) × R
    1.58400000001002e-05 × 6371000     		dl = 100.916640000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23399446--1.23401030) × R
    1.58400000001002e-05 × 6371000     		dr = 100.916640000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39472409--1.39467616) × cos(-1.23399446) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330470336819539 × 6371000     		do = 100.91309290606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39472409--1.39467616) × cos(-1.23401030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330455386726644 × 6371000     		du = 100.908527715345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23399446)-sin(-1.23401030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330470336819539-0.330455386726644)×R²
    abs(-1.39467616--1.39472409)×1.495009289465e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.495009289465e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.495009289465e-05×40589641000000     		ar = 10183.5799165035m²