Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3644 / 4547
↖ ↑ ↗
← N 62.237233°
W 99.931641°		 ← 1 138.11 m → N 62.237233°
W 99.909668°		 →
↑
1 138.31 m
↓
↑
1 138.31 m
↓
N 62.226996°
W 99.931641°		 ← 1 138.49 m →
1 295 735 m²		 N 62.226996°
W 99.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222442626953125 y=0.277557373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222442626953125 × 214)
    floor (0.222442626953125 × 16384)
    floor (3644.5)     		tx = 3644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277557373046875 × 214)
    floor (0.277557373046875 × 16384)
    floor (4547.5)     		ty = 4547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3644 / 4547 ti = "14/3644/4547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3644/4547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3644 ÷ 214
    3644 ÷ 16384     		x = 0.222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4547 ÷ 214
    4547 ÷ 16384     		y = 0.27752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.55517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74413616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27752685546875 × 2 - 1) × π
    0.4449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.39783999292084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74413616} λ = -1.74413616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39783999292084))-π/2
    2×atan(4.04645015943379)-π/2
    2×1.32852047905054-π/2
    2.65704095810107-1.57079632675     		φ = 1.08624463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74413616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08624463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.237233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3644 KachelY 4547 -1.74413616 1.08624463 -99.931641 62.237233
    Oben rechts KachelX + 1 3645 KachelY 4547 -1.74375266 1.08624463 -99.909668 62.237233
    Unten links KachelX 3644 KachelY + 1 4548 -1.74413616 1.08606596 -99.931641 62.226996
    Unten rechts KachelX + 1 3645 KachelY + 1 4548 -1.74375266 1.08606596 -99.909668 62.226996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08624463-1.08606596) × R
    0.000178669999999936 × 6371000     		dl = 1138.30656999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08624463-1.08606596) × R
    0.000178669999999936 × 6371000     		dr = 1138.30656999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74413616--1.74375266) × cos(1.08624463) × R
    0.000383500000000092 × 0.465811709998508 × 6371000     		do = 1138.10773608786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74413616--1.74375266) × cos(1.08606596) × R
    0.000383500000000092 × 0.465969804762405 × 6371000     		du = 1138.49400562546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08624463)-sin(1.08606596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465811709998508-0.465969804762405)×R²
    abs(-1.74375266--1.74413616)×0.000158094763897498×R²
    0.000383500000000092×0.000158094763897498×6371000²
    0.000383500000000092×0.000158094763897498×40589641000000     		ar = 1295735.36337837m²