Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36439 / 102543
↖ ↑ ↗
← S 70.742572°
W 79.917297°		 ← 100.73 m → S 70.742572°
W 79.914551°		 →
↑
100.73 m
↓
↑
100.73 m
↓
S 70.743478°
W 79.917297°		 ← 100.73 m →
10 146 m²		 S 70.743478°
W 79.914551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278011322021484 y=0.782344818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278011322021484 × 217)
    floor (0.278011322021484 × 131072)
    floor (36439.5)     		tx = 36439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782344818115234 × 217)
    floor (0.782344818115234 × 131072)
    floor (102543.5)     		ty = 102543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36439 / 102543 ti = "17/36439/102543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36439/102543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36439 ÷ 217
    36439 ÷ 131072     		x = 0.278007507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102543 ÷ 217
    102543 ÷ 131072     		y = 0.782341003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278007507324219 × 2 - 1) × π
    -0.443984985351562 × 3.1415926535     		Λ = -1.39481997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782341003417969 × 2 - 1) × π
    -0.564682006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.77400084423942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39481997} λ = -1.39481997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77400084423942))-π/2
    2×atan(0.169652874491244)-π/2
    2×0.168052762448632-π/2
    0.336105524897264-1.57079632675     		φ = -1.23469080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39481997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.917297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23469080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.742572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36439 KachelY 102543 -1.39481997 -1.23469080 -79.917297 -70.742572
    Oben rechts KachelX + 1 36440 KachelY 102543 -1.39477203 -1.23469080 -79.914551 -70.742572
    Unten links KachelX 36439 KachelY + 1 102544 -1.39481997 -1.23470661 -79.917297 -70.743478
    Unten rechts KachelX + 1 36440 KachelY + 1 102544 -1.39477203 -1.23470661 -79.914551 -70.743478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23469080--1.23470661) × R
    1.58099999998385e-05 × 6371000     		dl = 100.725509998971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23469080--1.23470661) × R
    1.58099999998385e-05 × 6371000     		dr = 100.725509998971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39481997--1.39477203) × cos(-1.23469080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329813039654811 × 6371000     		do = 100.733391698154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39481997--1.39477203) × cos(-1.23470661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329798114242072 × 6371000     		du = 100.728833092923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23469080)-sin(-1.23470661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329813039654811-0.329798114242072)×R²
    abs(-1.39477203--1.39481997)×1.49254127386755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49254127386755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49254127386755e-05×40589641000000     		ar = 10146.1926690203m²