Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36435 / 39225
↖ ↑ ↗
← S 33.399345°
E 20.143433°		 ← 509.97 m → S 33.399345°
E 20.148926°		 →
↑
509.93 m
↓
↑
509.93 m
↓
S 33.403931°
E 20.143433°		 ← 509.94 m →
260 046 m²		 S 33.403931°
E 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555961608886719 y=0.598533630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555961608886719 × 216)
    floor (0.555961608886719 × 65536)
    floor (36435.5)     		tx = 36435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598533630371094 × 216)
    floor (0.598533630371094 × 65536)
    floor (39225.5)     		ty = 39225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36435 / 39225 ti = "16/36435/39225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36435/39225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36435 ÷ 216
    36435 ÷ 65536     		x = 0.555953979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39225 ÷ 216
    39225 ÷ 65536     		y = 0.598526000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555953979492188 × 2 - 1) × π
    0.111907958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35156922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598526000976562 × 2 - 1) × π
    -0.197052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.619057121693405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35156922} λ = 0.35156922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619057121693405))-π/2
    2×atan(0.538451892931755)-π/2
    2×0.493933891391615-π/2
    0.98786778278323-1.57079632675     		φ = -0.58292854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35156922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.143433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58292854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.399345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36435 KachelY 39225 0.35156922 -0.58292854 20.143433 -33.399345
    Oben rechts KachelX + 1 36436 KachelY 39225 0.35166510 -0.58292854 20.148926 -33.399345
    Unten links KachelX 36435 KachelY + 1 39226 0.35156922 -0.58300858 20.143433 -33.403931
    Unten rechts KachelX + 1 36436 KachelY + 1 39226 0.35166510 -0.58300858 20.148926 -33.403931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58292854--0.58300858) × R
    8.00399999999479e-05 × 6371000     		dl = 509.934839999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58292854--0.58300858) × R
    8.00399999999479e-05 × 6371000     		dr = 509.934839999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35156922-0.35166510) × cos(-0.58292854) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.834854155295168 × 6371000     		do = 509.971896346164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35156922-0.35166510) × cos(-0.58300858) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.834810092906354 × 6371000     		du = 509.944980770744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58292854)-sin(-0.58300858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834854155295168-0.834810092906354)×R²
    abs(0.35166510-0.35156922)×4.40623888142699e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40623888142699e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40623888142699e-05×40589641000000     		ar = 260045.574911572m²