Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36432 / 39216
↖ ↑ ↗
← S 33.358062°
E 20.126953°		 ← 510.16 m → S 33.358062°
E 20.132446°		 →
↑
510.13 m
↓
↑
510.13 m
↓
S 33.362649°
E 20.126953°		 ← 510.13 m →
260 239 m²		 S 33.362649°
E 20.132446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555915832519531 y=0.598396301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555915832519531 × 216)
    floor (0.555915832519531 × 65536)
    floor (36432.5)     		tx = 36432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598396301269531 × 216)
    floor (0.598396301269531 × 65536)
    floor (39216.5)     		ty = 39216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36432 / 39216 ti = "16/36432/39216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36432/39216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36432 ÷ 216
    36432 ÷ 65536     		x = 0.555908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39216 ÷ 216
    39216 ÷ 65536     		y = 0.598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555908203125 × 2 - 1) × π
    0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.618194257500244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35128160} λ = 0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618194257500244))-π/2
    2×atan(0.538916704295608)-π/2
    2×0.494294159791767-π/2
    0.988588319583534-1.57079632675     		φ = -0.58220801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58220801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.358062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36432 KachelY 39216 0.35128160 -0.58220801 20.126953 -33.358062
    Oben rechts KachelX + 1 36433 KachelY 39216 0.35137747 -0.58220801 20.132446 -33.358062
    Unten links KachelX 36432 KachelY + 1 39217 0.35128160 -0.58228808 20.126953 -33.362649
    Unten rechts KachelX + 1 36433 KachelY + 1 39217 0.35137747 -0.58228808 20.132446 -33.362649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58220801--0.58228808) × R
    8.00699999999877e-05 × 6371000     		dl = 510.125969999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58220801--0.58228808) × R
    8.00699999999877e-05 × 6371000     		dr = 510.125969999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35128160-0.35137747) × cos(-0.58220801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835250569559969 × 6371000     		do = 510.160832772752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35128160-0.35137747) × cos(-0.58228808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835206538830285 × 6371000     		du = 510.133939341557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58220801)-sin(-0.58228808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835250569559969-0.835206538830285)×R²
    abs(0.35137747-0.35128160)×4.40307296840636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40307296840636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40307296840636e-05×40589641000000     		ar = 260239.430294248m²