Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36432 / 105264
↖ ↑ ↗
← S 73.061044°
W 79.936524°		 ← 88.99 m → S 73.061044°
W 79.933777°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
S 73.061845°
W 79.936524°		 ← 88.98 m →
7 920 m²		 S 73.061845°
W 79.933777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277957916259766 y=0.803104400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277957916259766 × 217)
    floor (0.277957916259766 × 131072)
    floor (36432.5)     		tx = 36432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803104400634766 × 217)
    floor (0.803104400634766 × 131072)
    floor (105264.5)     		ty = 105264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36432 / 105264 ti = "17/36432/105264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36432/105264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36432 ÷ 217
    36432 ÷ 131072     		x = 0.2779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105264 ÷ 217
    105264 ÷ 131072     		y = 0.8031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39515553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90443714810559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39515553} λ = -1.39515553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90443714810559))-π/2
    2×atan(0.148906431306569)-π/2
    2×0.147820271579205-π/2
    0.295640543158409-1.57079632675     		φ = -1.27515578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39515553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.936524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27515578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.061044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36432 KachelY 105264 -1.39515553 -1.27515578 -79.936524 -73.061044
    Oben rechts KachelX + 1 36433 KachelY 105264 -1.39510759 -1.27515578 -79.933777 -73.061044
    Unten links KachelX 36432 KachelY + 1 105265 -1.39515553 -1.27516975 -79.936524 -73.061845
    Unten rechts KachelX + 1 36433 KachelY + 1 105265 -1.39510759 -1.27516975 -79.933777 -73.061845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27515578--1.27516975) × R
    1.39700000001408e-05 × 6371000     		dl = 89.0028700008971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27515578--1.27516975) × R
    1.39700000001408e-05 × 6371000     		dr = 89.0028700008971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39515553--1.39510759) × cos(-1.27515578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291352666982039 × 6371000     		do = 88.9866039139046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39515553--1.39510759) × cos(-1.27516975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291339303032091 × 6371000     		du = 88.9825222196022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27515578)-sin(-1.27516975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291352666982039-0.291339303032091)×R²
    abs(-1.39510759--1.39515553)×1.33639499485527e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33639499485527e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33639499485527e-05×40589641000000     		ar = 7919.88149880707m²