Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36432 / 102620
↖ ↑ ↗
← S 70.812202°
W 79.936524°		 ← 100.38 m → S 70.812202°
W 79.933777°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
S 70.813104°
W 79.936524°		 ← 100.38 m →
10 073 m²		 S 70.813104°
W 79.933777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277957916259766 y=0.782932281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277957916259766 × 217)
    floor (0.277957916259766 × 131072)
    floor (36432.5)     		tx = 36432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782932281494141 × 217)
    floor (0.782932281494141 × 131072)
    floor (102620.5)     		ty = 102620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36432 / 102620 ti = "17/36432/102620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36432/102620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36432 ÷ 217
    36432 ÷ 131072     		x = 0.2779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102620 ÷ 217
    102620 ÷ 131072     		y = 0.782928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39515553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.56585693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77769198551016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39515553} λ = -1.39515553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77769198551016))-π/2
    2×atan(0.169027816063665)-π/2
    2×0.167445128638459-π/2
    0.334890257276917-1.57079632675     		φ = -1.23590607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39515553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.936524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23590607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.812202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36432 KachelY 102620 -1.39515553 -1.23590607 -79.936524 -70.812202
    Oben rechts KachelX + 1 36433 KachelY 102620 -1.39510759 -1.23590607 -79.933777 -70.812202
    Unten links KachelX 36432 KachelY + 1 102621 -1.39515553 -1.23592182 -79.936524 -70.813104
    Unten rechts KachelX + 1 36433 KachelY + 1 102621 -1.39510759 -1.23592182 -79.933777 -70.813104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23590607--1.23592182) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23590607--1.23592182) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39515553--1.39510759) × cos(-1.23590607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328665525280022 × 6371000     		do = 100.382911271074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39515553--1.39510759) × cos(-1.23592182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328650650208708 × 6371000     		du = 100.37836804141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23590607)-sin(-1.23592182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328665525280022-0.328650650208708)×R²
    abs(-1.39510759--1.39515553)×1.48750713141466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48750713141466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48750713141466e-05×40589641000000     		ar = 10072.519620363m²