Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36431 / 105263
↖ ↑ ↗
← S 73.060245°
W 79.939270°		 ← 88.97 m → S 73.060245°
W 79.936524°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
S 73.061044°
W 79.939270°		 ← 88.97 m →
7 913 m²		 S 73.061044°
W 79.936524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277950286865234 y=0.803096771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277950286865234 × 217)
    floor (0.277950286865234 × 131072)
    floor (36431.5)     		tx = 36431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803096771240234 × 217)
    floor (0.803096771240234 × 131072)
    floor (105263.5)     		ty = 105263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36431 / 105263 ti = "17/36431/105263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36431/105263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36431 ÷ 217
    36431 ÷ 131072     		x = 0.277946472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105263 ÷ 217
    105263 ÷ 131072     		y = 0.803092956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277946472167969 × 2 - 1) × π
    -0.444107055664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39520346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803092956542969 × 2 - 1) × π
    -0.606185913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.90438921120597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39520346} λ = -1.39520346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90438921120597))-π/2
    2×atan(0.148913569590312)-π/2
    2×0.147827255011016-π/2
    0.295654510022031-1.57079632675     		φ = -1.27514182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39520346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.939270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27514182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.060245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36431 KachelY 105263 -1.39520346 -1.27514182 -79.939270 -73.060245
    Oben rechts KachelX + 1 36432 KachelY 105263 -1.39515553 -1.27514182 -79.936524 -73.060245
    Unten links KachelX 36431 KachelY + 1 105264 -1.39520346 -1.27515578 -79.939270 -73.061044
    Unten rechts KachelX + 1 36432 KachelY + 1 105264 -1.39515553 -1.27515578 -79.936524 -73.061044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27514182--1.27515578) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dl = 88.9391599998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27514182--1.27515578) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dr = 88.9391599998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39520346--1.39515553) × cos(-1.27514182) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291366021309011 × 6371000     		do = 88.9721197399972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39520346--1.39515553) × cos(-1.27515578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291352666982039 × 6371000     		du = 88.968041835604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27514182)-sin(-1.27515578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291366021309011-0.291352666982039)×R²
    abs(-1.39515553--1.39520346)×1.33543269712488e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33543269712488e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33543269712488e-05×40589641000000     		ar = 7912.92425070289m²