Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36431 / 102577
↖ ↑ ↗
← S 70.773348°
W 79.939270°		 ← 100.56 m → S 70.773348°
W 79.936524°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 70.774252°
W 79.939270°		 ← 100.55 m →
10 109 m²		 S 70.774252°
W 79.936524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277950286865234 y=0.782604217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277950286865234 × 217)
    floor (0.277950286865234 × 131072)
    floor (36431.5)     		tx = 36431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782604217529297 × 217)
    floor (0.782604217529297 × 131072)
    floor (102577.5)     		ty = 102577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36431 / 102577 ti = "17/36431/102577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36431/102577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36431 ÷ 217
    36431 ÷ 131072     		x = 0.277946472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102577 ÷ 217
    102577 ÷ 131072     		y = 0.782600402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277946472167969 × 2 - 1) × π
    -0.444107055664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39520346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782600402832031 × 2 - 1) × π
    -0.565200805664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.7756306988265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39520346} λ = -1.39520346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7756306988265))-π/2
    2×atan(0.169376590188323)-π/2
    2×0.167784195484599-π/2
    0.335568390969198-1.57079632675     		φ = -1.23522794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39520346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.939270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23522794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.773348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36431 KachelY 102577 -1.39520346 -1.23522794 -79.939270 -70.773348
    Oben rechts KachelX + 1 36432 KachelY 102577 -1.39515553 -1.23522794 -79.936524 -70.773348
    Unten links KachelX 36431 KachelY + 1 102578 -1.39520346 -1.23524372 -79.939270 -70.774252
    Unten rechts KachelX + 1 36432 KachelY + 1 102578 -1.39515553 -1.23524372 -79.936524 -70.774252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23522794--1.23524372) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23522794--1.23524372) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39520346--1.39515553) × cos(-1.23522794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329305907087294 × 6371000     		do = 100.557520279229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39520346--1.39515553) × cos(-1.23524372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329291007202793 × 6371000     		du = 100.552970420251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23522794)-sin(-1.23524372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329305907087294-0.329291007202793)×R²
    abs(-1.39515553--1.39520346)×1.48998845003745e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48998845003745e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48998845003745e-05×40589641000000     		ar = 10109.2592470629m²