Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36429 / 47829
↖ ↑ ↗
← S 63.443142°
E 20.110474°		 ← 273.07 m → S 63.443142°
E 20.115967°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
S 63.445598°
E 20.110474°		 ← 273.05 m →
74 563 m²		 S 63.445598°
E 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555870056152344 y=0.729820251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555870056152344 × 216)
    floor (0.555870056152344 × 65536)
    floor (36429.5)     		tx = 36429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729820251464844 × 216)
    floor (0.729820251464844 × 65536)
    floor (47829.5)     		ty = 47829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36429 / 47829 ti = "16/36429/47829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36429/47829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36429 ÷ 216
    36429 ÷ 65536     		x = 0.555862426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47829 ÷ 216
    47829 ÷ 65536     		y = 0.729812622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555862426757812 × 2 - 1) × π
    0.111724853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35099398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729812622070312 × 2 - 1) × π
    -0.459625244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44395529035533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35099398} λ = 0.35099398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44395529035533))-π/2
    2×atan(0.23599249144933)-π/2
    2×0.231752301880353-π/2
    0.463504603760705-1.57079632675     		φ = -1.10729172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35099398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.110474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10729172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.443142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36429 KachelY 47829 0.35099398 -1.10729172 20.110474 -63.443142
    Oben rechts KachelX + 1 36430 KachelY 47829 0.35108985 -1.10729172 20.115967 -63.443142
    Unten links KachelX 36429 KachelY + 1 47830 0.35099398 -1.10733458 20.110474 -63.445598
    Unten rechts KachelX + 1 36430 KachelY + 1 47830 0.35108985 -1.10733458 20.115967 -63.445598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10729172--1.10733458) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10729172--1.10733458) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35099398-0.35108985) × cos(-1.10729172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447085685866379 × 6371000     		do = 273.07446906924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35099398-0.35108985) × cos(-1.10733458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447047347565727 × 6371000     		du = 273.05105250408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10729172)-sin(-1.10733458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447085685866379-0.447047347565727)×R²
    abs(0.35108985-0.35099398)×3.83383006516413e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83383006516413e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83383006516413e-05×40589641000000     		ar = 74562.8069179626m²