Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36429 / 102548
↖ ↑ ↗
← S 70.747101°
W 79.944763°		 ← 100.71 m → S 70.747101°
W 79.942017°		 →
↑
100.73 m
↓
↑
100.73 m
↓
S 70.748006°
W 79.944763°		 ← 100.71 m →
10 144 m²		 S 70.748006°
W 79.942017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277935028076172 y=0.782382965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277935028076172 × 217)
    floor (0.277935028076172 × 131072)
    floor (36429.5)     		tx = 36429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782382965087891 × 217)
    floor (0.782382965087891 × 131072)
    floor (102548.5)     		ty = 102548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36429 / 102548 ti = "17/36429/102548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36429/102548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36429 ÷ 217
    36429 ÷ 131072     		x = 0.277931213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102548 ÷ 217
    102548 ÷ 131072     		y = 0.782379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277931213378906 × 2 - 1) × π
    -0.444137573242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39529934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.56475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77424052873752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39529934} λ = -1.39529934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77424052873752))-π/2
    2×atan(0.169612216199946)-π/2
    2×0.168013241383898-π/2
    0.336026482767796-1.57079632675     		φ = -1.23476984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39529934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.944763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23476984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.747101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36429 KachelY 102548 -1.39529934 -1.23476984 -79.944763 -70.747101
    Oben rechts KachelX + 1 36430 KachelY 102548 -1.39525140 -1.23476984 -79.942017 -70.747101
    Unten links KachelX 36429 KachelY + 1 102549 -1.39529934 -1.23478565 -79.944763 -70.748006
    Unten rechts KachelX + 1 36430 KachelY + 1 102549 -1.39525140 -1.23478565 -79.942017 -70.748006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23476984--1.23478565) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dl = 100.725510000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23476984--1.23478565) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dr = 100.725510000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39529934--1.39525140) × cos(-1.23476984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329738421207527 × 6371000     		do = 100.710601303675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39529934--1.39525140) × cos(-1.23478565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329723495382702 × 6371000     		du = 100.706042572582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23476984)-sin(-1.23478565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329738421207527-0.329723495382702)×R²
    abs(-1.39525140--1.39529934)×1.4925824824763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4925824824763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4925824824763e-05×40589641000000     		ar = 10143.8970886379m²