Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36428 / 102549
↖ ↑ ↗
← S 70.748006°
W 79.947510°		 ← 100.69 m → S 70.748006°
W 79.944763°		 →
↑
100.73 m
↓
↑
100.73 m
↓
S 70.748912°
W 79.947510°		 ← 100.68 m →
10 141 m²		 S 70.748912°
W 79.944763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277927398681641 y=0.782390594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277927398681641 × 217)
    floor (0.277927398681641 × 131072)
    floor (36428.5)     		tx = 36428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782390594482422 × 217)
    floor (0.782390594482422 × 131072)
    floor (102549.5)     		ty = 102549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36428 / 102549 ti = "17/36428/102549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36428/102549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36428 ÷ 217
    36428 ÷ 131072     		x = 0.277923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102549 ÷ 217
    102549 ÷ 131072     		y = 0.782386779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.44415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39534727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782386779785156 × 2 - 1) × π
    -0.564773559570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.77428846563714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39534727} λ = -1.39534727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77428846563714))-π/2
    2×atan(0.169604085711041)-π/2
    2×0.168005338244023-π/2
    0.336010676488047-1.57079632675     		φ = -1.23478565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39534727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.947510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23478565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.748006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36428 KachelY 102549 -1.39534727 -1.23478565 -79.947510 -70.748006
    Oben rechts KachelX + 1 36429 KachelY 102549 -1.39529934 -1.23478565 -79.944763 -70.748006
    Unten links KachelX 36428 KachelY + 1 102550 -1.39534727 -1.23480146 -79.947510 -70.748912
    Unten rechts KachelX + 1 36429 KachelY + 1 102550 -1.39529934 -1.23480146 -79.944763 -70.748912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23478565--1.23480146) × R
    1.58099999998385e-05 × 6371000     		dl = 100.725509998971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23478565--1.23480146) × R
    1.58099999998385e-05 × 6371000     		dr = 100.725509998971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39534727--1.39529934) × cos(-1.23478565) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329723495382702 × 6371000     		do = 100.685035888819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39534727--1.39529934) × cos(-1.23480146) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329708569475461 × 6371000     		du = 100.680478083484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23478565)-sin(-1.23480146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329723495382702-0.329708569475461)×R²
    abs(-1.39529934--1.39534727)×1.49259072408925e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49259072408925e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49259072408925e-05×40589641000000     		ar = 10141.322045886m²