Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36427 / 102547
↖ ↑ ↗
← S 70.746195°
W 79.950256°		 ← 100.72 m → S 70.746195°
W 79.947510°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
S 70.747101°
W 79.950256°		 ← 100.71 m →
10 138 m²		 S 70.747101°
W 79.947510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277919769287109 y=0.782375335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277919769287109 × 217)
    floor (0.277919769287109 × 131072)
    floor (36427.5)     		tx = 36427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782375335693359 × 217)
    floor (0.782375335693359 × 131072)
    floor (102547.5)     		ty = 102547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36427 / 102547 ti = "17/36427/102547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36427/102547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36427 ÷ 217
    36427 ÷ 131072     		x = 0.277915954589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102547 ÷ 217
    102547 ÷ 131072     		y = 0.782371520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277915954589844 × 2 - 1) × π
    -0.444168090820312 × 3.1415926535     		Λ = -1.39539521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782371520996094 × 2 - 1) × π
    -0.564743041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.7741925918379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39539521} λ = -1.39539521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7741925918379))-π/2
    2×atan(0.169620347078611)-π/2
    2×0.168021144881444-π/2
    0.336042289762889-1.57079632675     		φ = -1.23475404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39539521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.950256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23475404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.746195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36427 KachelY 102547 -1.39539521 -1.23475404 -79.950256 -70.746195
    Oben rechts KachelX + 1 36428 KachelY 102547 -1.39534727 -1.23475404 -79.947510 -70.746195
    Unten links KachelX 36427 KachelY + 1 102548 -1.39539521 -1.23476984 -79.950256 -70.747101
    Unten rechts KachelX + 1 36428 KachelY + 1 102548 -1.39534727 -1.23476984 -79.947510 -70.747101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23475404--1.23476984) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23475404--1.23476984) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39539521--1.39534727) × cos(-1.23475404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32975333750926 × 6371000     		do = 100.715157126169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39539521--1.39534727) × cos(-1.23476984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329738421207527 × 6371000     		du = 100.710601303675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23475404)-sin(-1.23476984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32975333750926-0.329738421207527)×R²
    abs(-1.39534727--1.39539521)×1.49163017332254e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49163017332254e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49163017332254e-05×40589641000000     		ar = 10137.939705127m²