Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36425 / 48103
↖ ↑ ↗
← S 64.108204°
E 20.088501°		 ← 266.74 m → S 64.108204°
E 20.093994°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
S 64.110602°
E 20.088501°		 ← 266.72 m →
71 134 m²		 S 64.110602°
E 20.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555809020996094 y=0.734001159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555809020996094 × 216)
    floor (0.555809020996094 × 65536)
    floor (36425.5)     		tx = 36425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734001159667969 × 216)
    floor (0.734001159667969 × 65536)
    floor (48103.5)     		ty = 48103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36425 / 48103 ti = "16/36425/48103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36425/48103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36425 ÷ 216
    36425 ÷ 65536     		x = 0.555801391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48103 ÷ 216
    48103 ÷ 65536     		y = 0.733993530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555801391601562 × 2 - 1) × π
    0.111602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35061048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733993530273438 × 2 - 1) × π
    -0.467987060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47022471134712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35061048} λ = 0.35061048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47022471134712))-π/2
    2×atan(0.22987382412584)-π/2
    2×0.225948548169246-π/2
    0.451897096338492-1.57079632675     		φ = -1.11889923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35061048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.088501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11889923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.108204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36425 KachelY 48103 0.35061048 -1.11889923 20.088501 -64.108204
    Oben rechts KachelX + 1 36426 KachelY 48103 0.35070636 -1.11889923 20.093994 -64.108204
    Unten links KachelX 36425 KachelY + 1 48104 0.35061048 -1.11894109 20.088501 -64.110602
    Unten rechts KachelX + 1 36426 KachelY + 1 48104 0.35070636 -1.11894109 20.093994 -64.110602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11889923--1.11894109) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dl = 266.690060000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11889923--1.11894109) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dr = 266.690060000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35061048-0.35070636) × cos(-1.11889923) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.436672985683349 × 6371000     		do = 266.742339580672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35061048-0.35070636) × cos(-1.11894109) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.436635327194569 × 6371000     		du = 266.719335837066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11889923)-sin(-1.11894109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436672985683349-0.436635327194569)×R²
    abs(0.35070636-0.35061048)×3.76584887806786e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.76584887806786e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.76584887806786e-05×40589641000000     		ar = 71134.4631231305m²