Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36425 / 105497
↖ ↑ ↗
← S 73.246504°
W 79.955749°		 ← 88.02 m → S 73.246504°
W 79.953003°		 →
↑
88.05 m
↓
↑
88.05 m
↓
S 73.247296°
W 79.955749°		 ← 88.02 m →
7 750 m²		 S 73.247296°
W 79.953003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277904510498047 y=0.804882049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277904510498047 × 217)
    floor (0.277904510498047 × 131072)
    floor (36425.5)     		tx = 36425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804882049560547 × 217)
    floor (0.804882049560547 × 131072)
    floor (105497.5)     		ty = 105497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36425 / 105497 ti = "17/36425/105497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36425/105497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36425 ÷ 217
    36425 ÷ 131072     		x = 0.277900695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105497 ÷ 217
    105497 ÷ 131072     		y = 0.804878234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277900695800781 × 2 - 1) × π
    -0.444198608398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39549108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804878234863281 × 2 - 1) × π
    -0.609756469726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.91560644571706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39549108} λ = -1.39549108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91560644571706))-π/2
    2×atan(0.147252504851794)-π/2
    2×0.14620183380276-π/2
    0.292403667605519-1.57079632675     		φ = -1.27839266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39549108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.955749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27839266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.246504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36425 KachelY 105497 -1.39549108 -1.27839266 -79.955749 -73.246504
    Oben rechts KachelX + 1 36426 KachelY 105497 -1.39544315 -1.27839266 -79.953003 -73.246504
    Unten links KachelX 36425 KachelY + 1 105498 -1.39549108 -1.27840648 -79.955749 -73.247296
    Unten rechts KachelX + 1 36426 KachelY + 1 105498 -1.39544315 -1.27840648 -79.953003 -73.247296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27839266--1.27840648) × R
    1.38199999999422e-05 × 6371000     		dl = 88.0472199996318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27839266--1.27840648) × R
    1.38199999999422e-05 × 6371000     		dr = 88.0472199996318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39549108--1.39544315) × cos(-1.27839266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28825469581149 × 6371000     		do = 88.0220390700829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39549108--1.39544315) × cos(-1.27840648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.288241462390805 × 6371000     		du = 88.0179980858786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27839266)-sin(-1.27840648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28825469581149-0.288241462390805)×R²
    abs(-1.39544315--1.39549108)×1.32334206851548e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32334206851548e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32334206851548e-05×40589641000000     		ar = 7749.91794021334m²