Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36424 / 39492
↖ ↑ ↗
← S 34.615127°
E 20.083008°		 ← 502.67 m → S 34.615127°
E 20.088501°		 →
↑
502.67 m
↓
↑
502.67 m
↓
S 34.619647°
E 20.083008°		 ← 502.64 m →
252 671 m²		 S 34.619647°
E 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555793762207031 y=0.602607727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555793762207031 × 216)
    floor (0.555793762207031 × 65536)
    floor (36424.5)     		tx = 36424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602607727050781 × 216)
    floor (0.602607727050781 × 65536)
    floor (39492.5)     		ty = 39492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36424 / 39492 ti = "16/36424/39492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36424/39492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36424 ÷ 216
    36424 ÷ 65536     		x = 0.5557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39492 ÷ 216
    39492 ÷ 65536     		y = 0.60260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5557861328125 × 2 - 1) × π
    0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.644655426090515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35051461} λ = 0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644655426090515))-π/2
    2×atan(0.524843358280366)-π/2
    2×0.48332419759435-π/2
    0.9666483951887-1.57079632675     		φ = -0.60414793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60414793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.615127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36424 KachelY 39492 0.35051461 -0.60414793 20.083008 -34.615127
    Oben rechts KachelX + 1 36425 KachelY 39492 0.35061048 -0.60414793 20.088501 -34.615127
    Unten links KachelX 36424 KachelY + 1 39493 0.35051461 -0.60422683 20.083008 -34.619647
    Unten rechts KachelX + 1 36425 KachelY + 1 39493 0.35061048 -0.60422683 20.088501 -34.619647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60414793--0.60422683) × R
    7.88999999999929e-05 × 6371000     		dl = 502.671899999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60414793--0.60422683) × R
    7.88999999999929e-05 × 6371000     		dr = 502.671899999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35051461-0.35061048) × cos(-0.60414793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822986424098237 × 6371000     		do = 502.670042715225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35051461-0.35061048) × cos(-0.60422683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822941601520555 × 6371000     		du = 502.642665632958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60414793)-sin(-0.60422683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822986424098237-0.822941601520555)×R²
    abs(0.35061048-0.35051461)×4.48225776816802e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48225776816802e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48225776816802e-05×40589641000000     		ar = 252671.224730971m²