Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36423 / 48089
↖ ↑ ↗
← S 64.074601°
E 20.077515°		 ← 267.04 m → S 64.074601°
E 20.083008°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 64.077003°
E 20.077515°		 ← 267.01 m →
71 298 m²		 S 64.077003°
E 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555778503417969 y=0.733787536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555778503417969 × 216)
    floor (0.555778503417969 × 65536)
    floor (36423.5)     		tx = 36423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733787536621094 × 216)
    floor (0.733787536621094 × 65536)
    floor (48089.5)     		ty = 48089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36423 / 48089 ti = "16/36423/48089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36423/48089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36423 ÷ 216
    36423 ÷ 65536     		x = 0.555770874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48089 ÷ 216
    48089 ÷ 65536     		y = 0.733779907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555770874023438 × 2 - 1) × π
    0.111541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35041874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733779907226562 × 2 - 1) × π
    -0.467559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46888247815776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35041874} λ = 0.35041874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46888247815776))-π/2
    2×atan(0.230182575563808)-π/2
    2×0.226241783644641-π/2
    0.452483567289282-1.57079632675     		φ = -1.11831276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35041874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.077515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11831276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.074601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36423 KachelY 48089 0.35041874 -1.11831276 20.077515 -64.074601
    Oben rechts KachelX + 1 36424 KachelY 48089 0.35051461 -1.11831276 20.083008 -64.074601
    Unten links KachelX 36423 KachelY + 1 48090 0.35041874 -1.11835467 20.077515 -64.077003
    Unten rechts KachelX + 1 36424 KachelY + 1 48090 0.35051461 -1.11835467 20.083008 -64.077003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11831276--1.11835467) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11831276--1.11835467) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35041874-0.35051461) × cos(-1.11831276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437200510880577 × 6371000     		do = 267.036725083603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35041874-0.35051461) × cos(-1.11835467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437162818148854 × 6371000     		du = 267.013702824048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11831276)-sin(-1.11835467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437200510880577-0.437162818148854)×R²
    abs(0.35051461-0.35041874)×3.76927317237707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76927317237707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76927317237707e-05×40589641000000     		ar = 71298.0312230935m²