Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36423 / 105500
↖ ↑ ↗
← S 73.248879°
W 79.961243°		 ← 88.03 m → S 73.248879°
W 79.958496°		 →
↑
88.05 m
↓
↑
88.05 m
↓
S 73.249671°
W 79.961243°		 ← 88.02 m →
7 750 m²		 S 73.249671°
W 79.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277889251708984 y=0.804904937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277889251708984 × 217)
    floor (0.277889251708984 × 131072)
    floor (36423.5)     		tx = 36423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804904937744141 × 217)
    floor (0.804904937744141 × 131072)
    floor (105500.5)     		ty = 105500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36423 / 105500 ti = "17/36423/105500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36423/105500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36423 ÷ 217
    36423 ÷ 131072     		x = 0.277885437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105500 ÷ 217
    105500 ÷ 131072     		y = 0.804901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277885437011719 × 2 - 1) × π
    -0.444229125976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.39558696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.60980224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.91575025641592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39558696} λ = -1.39558696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91575025641592))-π/2
    2×atan(0.147231329888792)-π/2
    2×0.146181108175142-π/2
    0.292362216350284-1.57079632675     		φ = -1.27843411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39558696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.961243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27843411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.248879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36423 KachelY 105500 -1.39558696 -1.27843411 -79.961243 -73.248879
    Oben rechts KachelX + 1 36424 KachelY 105500 -1.39553902 -1.27843411 -79.958496 -73.248879
    Unten links KachelX 36423 KachelY + 1 105501 -1.39558696 -1.27844793 -79.961243 -73.249671
    Unten rechts KachelX + 1 36424 KachelY + 1 105501 -1.39553902 -1.27844793 -79.958496 -73.249671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27843411--1.27844793) × R
    1.38199999999422e-05 × 6371000     		dl = 88.0472199996318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27843411--1.27844793) × R
    1.38199999999422e-05 × 6371000     		dr = 88.0472199996318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39558696--1.39553902) × cos(-1.27843411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288215004959938 × 6371000     		do = 88.028281168935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39558696--1.39553902) × cos(-1.27844793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288201771374144 × 6371000     		du = 88.0242392912012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27843411)-sin(-1.27844793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288215004959938-0.288201771374144)×R²
    abs(-1.39553902--1.39558696)×1.32335857935262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32335857935262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32335857935262e-05×40589641000000     		ar = 7750.46750041038m²