Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36422 / 48086
↖ ↑ ↗
← S 64.067395°
E 20.072021°		 ← 267.13 m → S 64.067395°
E 20.077515°		 →
↑
267.14 m
↓
↑
267.14 m
↓
S 64.069798°
E 20.072021°		 ← 267.11 m →
71 358 m²		 S 64.069798°
E 20.077515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555763244628906 y=0.733741760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555763244628906 × 216)
    floor (0.555763244628906 × 65536)
    floor (36422.5)     		tx = 36422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733741760253906 × 216)
    floor (0.733741760253906 × 65536)
    floor (48086.5)     		ty = 48086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36422 / 48086 ti = "16/36422/48086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36422/48086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36422 ÷ 216
    36422 ÷ 65536     		x = 0.555755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48086 ÷ 216
    48086 ÷ 65536     		y = 0.733734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555755615234375 × 2 - 1) × π
    0.11151123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35032286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.46746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46859485676004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35032286} λ = 0.35032286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46859485676004))-π/2
    2×atan(0.230248790519885)-π/2
    2×0.226304665888275-π/2
    0.452609331776549-1.57079632675     		φ = -1.11818699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35032286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.072021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11818699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.067395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36422 KachelY 48086 0.35032286 -1.11818699 20.072021 -64.067395
    Oben rechts KachelX + 1 36423 KachelY 48086 0.35041874 -1.11818699 20.077515 -64.067395
    Unten links KachelX 36422 KachelY + 1 48087 0.35032286 -1.11822892 20.072021 -64.069798
    Unten rechts KachelX + 1 36423 KachelY + 1 48087 0.35041874 -1.11822892 20.077515 -64.069798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11818699--1.11822892) × R
    4.19299999998568e-05 × 6371000     		dl = 267.136029999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11818699--1.11822892) × R
    4.19299999998568e-05 × 6371000     		dr = 267.136029999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35032286-0.35041874) × cos(-1.11818699) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437313620440327 × 6371000     		do = 267.133672270111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35032286-0.35041874) × cos(-1.11822892) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437275912026747 × 6371000     		du = 267.110638029868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11818699)-sin(-1.11822892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437313620440327-0.437275912026747)×R²
    abs(0.35041874-0.35032286)×3.77084135798622e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.77084135798622e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.77084135798622e-05×40589641000000     		ar = 71357.9520620094m²