Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36422 / 105201
↖ ↑ ↗
← S 73.010558°
W 79.963990°		 ← 89.24 m → S 73.010558°
W 79.961243°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.011360°
W 79.963990°		 ← 89.24 m →
7 966 m²		 S 73.011360°
W 79.961243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277881622314453 y=0.802623748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277881622314453 × 217)
    floor (0.277881622314453 × 131072)
    floor (36422.5)     		tx = 36422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802623748779297 × 217)
    floor (0.802623748779297 × 131072)
    floor (105201.5)     		ty = 105201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36422 / 105201 ti = "17/36422/105201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36422/105201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36422 ÷ 217
    36422 ÷ 131072     		x = 0.277877807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105201 ÷ 217
    105201 ÷ 131072     		y = 0.802619934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277877807617188 × 2 - 1) × π
    -0.444244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39563490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802619934082031 × 2 - 1) × π
    -0.605239868164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.90141712342953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39563490} λ = -1.39563490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90141712342953))-π/2
    2×atan(0.149356812141848)-π/2
    2×0.148260853754111-π/2
    0.296521707508221-1.57079632675     		φ = -1.27427462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39563490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.963990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27427462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.010558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36422 KachelY 105201 -1.39563490 -1.27427462 -79.963990 -73.010558
    Oben rechts KachelX + 1 36423 KachelY 105201 -1.39558696 -1.27427462 -79.961243 -73.010558
    Unten links KachelX 36422 KachelY + 1 105202 -1.39563490 -1.27428863 -79.963990 -73.011360
    Unten rechts KachelX + 1 36423 KachelY + 1 105202 -1.39558696 -1.27428863 -79.961243 -73.011360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27427462--1.27428863) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dl = 89.257710000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27427462--1.27428863) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dr = 89.257710000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39563490--1.39558696) × cos(-1.27427462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29219548526577 × 6371000     		do = 89.2440223118984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39563490--1.39558696) × cos(-1.27428863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292182086652914 × 6371000     		du = 89.2399300306518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27427462)-sin(-1.27428863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29219548526577-0.292182086652914)×R²
    abs(-1.39558696--1.39563490)×1.33986128565411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33986128565411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33986128565411e-05×40589641000000     		ar = 7965.53442912466m²