Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36422 / 102581
↖ ↑ ↗
← S 70.776965°
W 79.963990°		 ← 100.56 m → S 70.776965°
W 79.961243°		 →
↑
100.60 m
↓
↑
100.60 m
↓
S 70.777869°
W 79.963990°		 ← 100.56 m →
10 116 m²		 S 70.777869°
W 79.961243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277881622314453 y=0.782634735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277881622314453 × 217)
    floor (0.277881622314453 × 131072)
    floor (36422.5)     		tx = 36422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782634735107422 × 217)
    floor (0.782634735107422 × 131072)
    floor (102581.5)     		ty = 102581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36422 / 102581 ti = "17/36422/102581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36422/102581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36422 ÷ 217
    36422 ÷ 131072     		x = 0.277877807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102581 ÷ 217
    102581 ÷ 131072     		y = 0.782630920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277877807617188 × 2 - 1) × π
    -0.444244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39563490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782630920410156 × 2 - 1) × π
    -0.565261840820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.77582244642498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39563490} λ = -1.39563490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77582244642498))-π/2
    2×atan(0.169344115747463)-π/2
    2×0.167752626533723-π/2
    0.335505253067446-1.57079632675     		φ = -1.23529107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39563490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.963990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23529107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.776965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36422 KachelY 102581 -1.39563490 -1.23529107 -79.963990 -70.776965
    Oben rechts KachelX + 1 36423 KachelY 102581 -1.39558696 -1.23529107 -79.961243 -70.776965
    Unten links KachelX 36422 KachelY + 1 102582 -1.39563490 -1.23530686 -79.963990 -70.777869
    Unten rechts KachelX + 1 36423 KachelY + 1 102582 -1.39558696 -1.23530686 -79.961243 -70.777869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23529107--1.23530686) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dl = 100.598089999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23529107--1.23530686) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dr = 100.598089999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39563490--1.39558696) × cos(-1.23529107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329246297614889 × 6371000     		do = 100.560294091222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39563490--1.39558696) × cos(-1.23530686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329231387959882 × 6371000     		du = 100.555740298808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23529107)-sin(-1.23530686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329246297614889-0.329231387959882)×R²
    abs(-1.39558696--1.39563490)×1.49096550076111e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49096550076111e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49096550076111e-05×40589641000000     		ar = 10115.9444642843m²