Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36421 / 105200
↖ ↑ ↗
← S 73.009755°
W 79.966736°		 ← 89.23 m → S 73.009755°
W 79.963990°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.010558°
W 79.966736°		 ← 89.23 m →
7 964 m²		 S 73.010558°
W 79.963990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277873992919922 y=0.802616119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277873992919922 × 217)
    floor (0.277873992919922 × 131072)
    floor (36421.5)     		tx = 36421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802616119384766 × 217)
    floor (0.802616119384766 × 131072)
    floor (105200.5)     		ty = 105200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36421 / 105200 ti = "17/36421/105200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36421/105200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36421 ÷ 217
    36421 ÷ 131072     		x = 0.277870178222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105200 ÷ 217
    105200 ÷ 131072     		y = 0.8026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277870178222656 × 2 - 1) × π
    -0.444259643554688 × 3.1415926535     		Λ = -1.39568283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90136918652991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39568283} λ = -1.39568283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90136918652991))-π/2
    2×atan(0.149363972015969)-π/2
    2×0.148267857387489-π/2
    0.296535714774979-1.57079632675     		φ = -1.27426061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39568283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.966736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27426061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.009755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36421 KachelY 105200 -1.39568283 -1.27426061 -79.966736 -73.009755
    Oben rechts KachelX + 1 36422 KachelY 105200 -1.39563490 -1.27426061 -79.963990 -73.009755
    Unten links KachelX 36421 KachelY + 1 105201 -1.39568283 -1.27427462 -79.966736 -73.010558
    Unten rechts KachelX + 1 36422 KachelY + 1 105201 -1.39563490 -1.27427462 -79.963990 -73.010558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27426061--1.27427462) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dl = 89.2577099993484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27426061--1.27427462) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dr = 89.2577099993484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39568283--1.39563490) × cos(-1.27426061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292208883821274 × 6371000     		do = 89.2294979477531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39568283--1.39563490) × cos(-1.27427462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29219548526577 × 6371000     		du = 89.2254065376453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27426061)-sin(-1.27427462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292208883821274-0.29219548526577)×R²
    abs(-1.39563490--1.39568283)×1.3398555504196e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3398555504196e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3398555504196e-05×40589641000000     		ar = 7964.23805654535m²