Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3642 / 5413
↖ ↑ ↗
← S 49.979488°
W 19.951172°		 ← 3 142.32 m → S 49.979488°
W 19.907227°		 →
↑
3 141.41 m
↓
↑
3 141.41 m
↓
S 50.007739°
W 19.951172°		 ← 3 140.47 m →
9 868 417 m²		 S 50.007739°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44464111328125 y=0.66082763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44464111328125 × 213)
    floor (0.44464111328125 × 8192)
    floor (3642.5)     		tx = 3642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66082763671875 × 213)
    floor (0.66082763671875 × 8192)
    floor (5413.5)     		ty = 5413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3642 / 5413 ti = "13/3642/5413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3642/5413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3642 ÷ 213
    3642 ÷ 8192     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5413 ÷ 213
    5413 ÷ 8192     		y = 0.6607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.321533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01012634879382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01012634879382))-π/2
    2×atan(0.364172963849844)-π/2
    2×0.349244853461147-π/2
    0.698489706922295-1.57079632675     		φ = -0.87230662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87230662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.979488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3642 KachelY 5413 -0.34821364 -0.87230662 -19.951172 -49.979488
    Oben rechts KachelX + 1 3643 KachelY 5413 -0.34744665 -0.87230662 -19.907227 -49.979488
    Unten links KachelX 3642 KachelY + 1 5414 -0.34821364 -0.87279970 -19.951172 -50.007739
    Unten rechts KachelX + 1 3643 KachelY + 1 5414 -0.34744665 -0.87279970 -19.907227 -50.007739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87230662--0.87279970) × R
    0.000493079999999924 × 6371000     		dl = 3141.41267999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87230662--0.87279970) × R
    0.000493079999999924 × 6371000     		dr = 3141.41267999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(-0.87230662) × R
    0.000766989999999967 × 0.643061816992917 × 6371000     		do = 3142.31725379096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(-0.87279970) × R
    0.000766989999999967 × 0.642684131133747 × 6371000     		du = 3140.4716943744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87230662)-sin(-0.87279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643061816992917-0.642684131133747)×R²
    abs(-0.34744665--0.34821364)×0.000377685859170418×R²
    0.000766989999999967×0.000377685859170418×6371000²
    0.000766989999999967×0.000377685859170418×40589641000000     		ar = 9868416.63370398m²