Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3642 / 4567
↖ ↑ ↗
← N 62.031835°
W 99.975586°		 ← 1 145.85 m → N 62.031835°
W 99.953613°		 →
↑
1 146.08 m
↓
↑
1 146.08 m
↓
N 62.021528°
W 99.975586°		 ← 1 146.24 m →
1 313 458 m²		 N 62.021528°
W 99.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222320556640625 y=0.278778076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222320556640625 × 214)
    floor (0.222320556640625 × 16384)
    floor (3642.5)     		tx = 3642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278778076171875 × 214)
    floor (0.278778076171875 × 16384)
    floor (4567.5)     		ty = 4567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3642 / 4567 ti = "14/3642/4567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3642/4567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3642 ÷ 214
    3642 ÷ 16384     		x = 0.2222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4567 ÷ 214
    4567 ÷ 16384     		y = 0.27874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74490315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27874755859375 × 2 - 1) × π
    0.4425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39017008898163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74490315} λ = -1.74490315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39017008898163))-π/2
    2×atan(4.01553299282973)-π/2
    2×1.32672804160701-π/2
    2.65345608321401-1.57079632675     		φ = 1.08265976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74490315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08265976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.031835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3642 KachelY 4567 -1.74490315 1.08265976 -99.975586 62.031835
    Oben rechts KachelX + 1 3643 KachelY 4567 -1.74451965 1.08265976 -99.953613 62.031835
    Unten links KachelX 3642 KachelY + 1 4568 -1.74490315 1.08247987 -99.975586 62.021528
    Unten rechts KachelX + 1 3643 KachelY + 1 4568 -1.74451965 1.08247987 -99.953613 62.021528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08265976-1.08247987) × R
    0.000179890000000071 × 6371000     		dl = 1146.07919000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08265976-1.08247987) × R
    0.000179890000000071 × 6371000     		dr = 1146.07919000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74490315--1.74451965) × cos(1.08265976) × R
    0.000383500000000092 × 0.468980903679497 × 6371000     		do = 1145.85095887096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74490315--1.74451965) × cos(1.08247987) × R
    0.000383500000000092 × 0.469139776432619 × 6371000     		du = 1146.2391292529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08265976)-sin(1.08247987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468980903679497-0.469139776432619)×R²
    abs(-1.74451965--1.74490315)×0.000158872753121875×R²
    0.000383500000000092×0.000158872753121875×6371000²
    0.000383500000000092×0.000158872753121875×40589641000000     		ar = 1313458.37934363m²