Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3642 / 2259
↖ ↑ ↗
← N 62.532594°
W 19.951172°		 ← 2 253.87 m → N 62.532594°
W 19.907227°		 →
↑
2 254.63 m
↓
↑
2 254.63 m
↓
N 62.512318°
W 19.951172°		 ← 2 255.40 m →
5 083 369 m²		 N 62.512318°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44464111328125 y=0.27581787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44464111328125 × 213)
    floor (0.44464111328125 × 8192)
    floor (3642.5)     		tx = 3642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27581787109375 × 213)
    floor (0.27581787109375 × 8192)
    floor (2259.5)     		ty = 2259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3642 / 2259 ti = "13/3642/2259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3642/2259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3642 ÷ 213
    3642 ÷ 8192     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2259 ÷ 213
    2259 ÷ 8192     		y = 0.2757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2757568359375 × 2 - 1) × π
    0.448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40896135363269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40896135363269))-π/2
    2×atan(4.09170336343561)-π/2
    2×1.33109799395952-π/2
    2.66219598791904-1.57079632675     		φ = 1.09139966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09139966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.532594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3642 KachelY 2259 -0.34821364 1.09139966 -19.951172 62.532594
    Oben rechts KachelX + 1 3643 KachelY 2259 -0.34744665 1.09139966 -19.907227 62.532594
    Unten links KachelX 3642 KachelY + 1 2260 -0.34821364 1.09104577 -19.951172 62.512318
    Unten rechts KachelX + 1 3643 KachelY + 1 2260 -0.34744665 1.09104577 -19.907227 62.512318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09139966-1.09104577) × R
    0.000353889999999968 × 6371000     		dl = 2254.63318999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09139966-1.09104577) × R
    0.000353889999999968 × 6371000     		dr = 2254.63318999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(1.09139966) × R
    0.000766989999999967 × 0.461243938037942 × 6371000     		do = 2253.86540827548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(1.09104577) × R
    0.000766989999999967 × 0.461557906320937 × 6371000     		du = 2255.39961218361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09139966)-sin(1.09104577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461243938037942-0.461557906320937)×R²
    abs(-0.34744665--0.34821364)×0.000313968282995292×R²
    0.000766989999999967×0.000313968282995292×6371000²
    0.000766989999999967×0.000313968282995292×40589641000000     		ar = 5083369.34186806m²