Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36417 / 39616
↖ ↑ ↗
← S 35.173809°
E 20.044555°		 ← 499.32 m → S 35.173809°
E 20.050049°		 →
↑
499.23 m
↓
↑
499.23 m
↓
S 35.178298°
E 20.044555°		 ← 499.29 m →
249 267 m²		 S 35.178298°
E 20.050049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555686950683594 y=0.604499816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555686950683594 × 216)
    floor (0.555686950683594 × 65536)
    floor (36417.5)     		tx = 36417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604499816894531 × 216)
    floor (0.604499816894531 × 65536)
    floor (39616.5)     		ty = 39616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36417 / 39616 ti = "16/36417/39616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36417/39616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36417 ÷ 216
    36417 ÷ 65536     		x = 0.555679321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39616 ÷ 216
    39616 ÷ 65536     		y = 0.6044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555679321289062 × 2 - 1) × π
    0.111358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34984349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6044921875 × 2 - 1) × π
    -0.208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.656543777196289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34984349} λ = 0.34984349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.656543777196289))-π/2
    2×atan(0.51864077843727)-π/2
    2×0.478448780597887-π/2
    0.956897561195774-1.57079632675     		φ = -0.61389877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34984349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.044555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61389877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.173809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36417 KachelY 39616 0.34984349 -0.61389877 20.044555 -35.173809
    Oben rechts KachelX + 1 36418 KachelY 39616 0.34993937 -0.61389877 20.050049 -35.173809
    Unten links KachelX 36417 KachelY + 1 39617 0.34984349 -0.61397713 20.044555 -35.178298
    Unten rechts KachelX + 1 36418 KachelY + 1 39617 0.34993937 -0.61397713 20.050049 -35.178298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61389877--0.61397713) × R
    7.8359999999944e-05 × 6371000     		dl = 499.231559999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61389877--0.61397713) × R
    7.8359999999944e-05 × 6371000     		dr = 499.231559999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34984349-0.34993937) × cos(-0.61389877) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.817408315552303 × 6371000     		do = 499.315079319682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34984349-0.34993937) × cos(-0.61397713) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.817363173081707 × 6371000     		du = 499.287503974708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61389877)-sin(-0.61397713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817408315552303-0.817363173081707)×R²
    abs(0.34993937-0.34984349)×4.51424705957271e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.51424705957271e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.51424705957271e-05×40589641000000     		ar = 249266.962866122m²