Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36417 / 102523
↖ ↑ ↗
← S 70.724446°
W 79.977722°		 ← 100.82 m → S 70.724446°
W 79.974975°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
S 70.725353°
W 79.977722°		 ← 100.82 m →
10 168 m²		 S 70.725353°
W 79.974975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277843475341797 y=0.782192230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277843475341797 × 217)
    floor (0.277843475341797 × 131072)
    floor (36417.5)     		tx = 36417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782192230224609 × 217)
    floor (0.782192230224609 × 131072)
    floor (102523.5)     		ty = 102523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36417 / 102523 ti = "17/36417/102523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36417/102523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36417 ÷ 217
    36417 ÷ 131072     		x = 0.277839660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102523 ÷ 217
    102523 ÷ 131072     		y = 0.782188415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277839660644531 × 2 - 1) × π
    -0.444320678710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.39587458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782188415527344 × 2 - 1) × π
    -0.564376831054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.77304210624702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39587458} λ = -1.39587458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77304210624702))-π/2
    2×atan(0.169815605143103)-π/2
    2×0.168210936161054-π/2
    0.336421872322108-1.57079632675     		φ = -1.23437445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39587458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.977722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23437445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.724446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36417 KachelY 102523 -1.39587458 -1.23437445 -79.977722 -70.724446
    Oben rechts KachelX + 1 36418 KachelY 102523 -1.39582664 -1.23437445 -79.974975 -70.724446
    Unten links KachelX 36417 KachelY + 1 102524 -1.39587458 -1.23439028 -79.977722 -70.725353
    Unten rechts KachelX + 1 36418 KachelY + 1 102524 -1.39582664 -1.23439028 -79.974975 -70.725353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23437445--1.23439028) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dl = 100.852929999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23437445--1.23439028) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dr = 100.852929999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39587458--1.39582664) × cos(-1.23437445) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.330111672183769 × 6371000     		do = 100.824601759766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39587458--1.39582664) × cos(-1.23439028) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.330096729542355 × 6371000     		du = 100.820037892455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23437445)-sin(-1.23439028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330111672183769-0.330096729542355)×R²
    abs(-1.39582664--1.39587458)×1.49426414136622e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.49426414136622e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.49426414136622e-05×40589641000000     		ar = 10168.2263640828m²