Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36416 / 48063
↖ ↑ ↗
← S 64.012089°
E 20.039063°		 ← 267.64 m → S 64.012089°
E 20.044555°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
S 64.014496°
E 20.039063°		 ← 267.61 m →
71 629 m²		 S 64.014496°
E 20.044555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555671691894531 y=0.733390808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555671691894531 × 216)
    floor (0.555671691894531 × 65536)
    floor (36416.5)     		tx = 36416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733390808105469 × 216)
    floor (0.733390808105469 × 65536)
    floor (48063.5)     		ty = 48063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36416 / 48063 ti = "16/36416/48063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36416/48063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36416 ÷ 216
    36416 ÷ 65536     		x = 0.5556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48063 ÷ 216
    48063 ÷ 65536     		y = 0.733383178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5556640625 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733383178710938 × 2 - 1) × π
    -0.466766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46638975937752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34974762} λ = 0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46638975937752))-π/2
    2×atan(0.230757071724008)-π/2
    2×0.226787303761094-π/2
    0.453574607522188-1.57079632675     		φ = -1.11722172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11722172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.012089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36416 KachelY 48063 0.34974762 -1.11722172 20.039063 -64.012089
    Oben rechts KachelX + 1 36417 KachelY 48063 0.34984349 -1.11722172 20.044555 -64.012089
    Unten links KachelX 36416 KachelY + 1 48064 0.34974762 -1.11726373 20.039063 -64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 36417 KachelY + 1 48064 0.34984349 -1.11726373 20.044555 -64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11722172--1.11726373) × R
    4.20099999998147e-05 × 6371000     		dl = 267.645709998819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11722172--1.11726373) × R
    4.20099999998147e-05 × 6371000     		dr = 267.645709998819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34974762-0.34984349) × cos(-1.11722172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438181492635667 × 6371000     		do = 267.635896742205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34974762-0.34984349) × cos(-1.11726373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 267.612831802196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11722172)-sin(-1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438181492635667-0.438143730026227)×R²
    abs(0.34984349-0.34974762)×3.77626094399397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77626094399397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77626094399397e-05×40589641000000     		ar = 71628.512999148m²