Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36415 / 39617
↖ ↑ ↗
← S 35.178298°
E 20.033570°		 ← 499.24 m → S 35.178298°
E 20.039063°		 →
↑
499.23 m
↓
↑
499.23 m
↓
S 35.182788°
E 20.033570°		 ← 499.21 m →
249 227 m²		 S 35.182788°
E 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555656433105469 y=0.604515075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555656433105469 × 216)
    floor (0.555656433105469 × 65536)
    floor (36415.5)     		tx = 36415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604515075683594 × 216)
    floor (0.604515075683594 × 65536)
    floor (39617.5)     		ty = 39617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36415 / 39617 ti = "16/36415/39617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36415/39617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36415 ÷ 216
    36415 ÷ 65536     		x = 0.555648803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39617 ÷ 216
    39617 ÷ 65536     		y = 0.604507446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555648803710938 × 2 - 1) × π
    0.111297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34965175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604507446289062 × 2 - 1) × π
    -0.209014892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.656639650995529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34965175} λ = 0.34965175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.656639650995529))-π/2
    2×atan(0.518591056758942)-π/2
    2×0.47840959765946-π/2
    0.956819195318921-1.57079632675     		φ = -0.61397713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34965175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.033570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61397713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.178298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36415 KachelY 39617 0.34965175 -0.61397713 20.033570 -35.178298
    Oben rechts KachelX + 1 36416 KachelY 39617 0.34974762 -0.61397713 20.039063 -35.178298
    Unten links KachelX 36415 KachelY + 1 39618 0.34965175 -0.61405549 20.033570 -35.182788
    Unten rechts KachelX + 1 36416 KachelY + 1 39618 0.34974762 -0.61405549 20.039063 -35.182788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61397713--0.61405549) × R
    7.83600000000551e-05 × 6371000     		dl = 499.231560000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61397713--0.61405549) × R
    7.83600000000551e-05 × 6371000     		dr = 499.231560000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34965175-0.34974762) × cos(-0.61397713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.817363173081707 × 6371000     		do = 499.235429766689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34965175-0.34974762) × cos(-0.61405549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.817318025592265 × 6371000     		du = 499.207854232291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61397713)-sin(-0.61405549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817363173081707-0.817318025592265)×R²
    abs(0.34974762-0.34965175)×4.51474894423987e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51474894423987e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51474894423987e-05×40589641000000     		ar = 249227.199248884m²