Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36414 / 104950
↖ ↑ ↗
← S 72.807958°
W 79.985962°		 ← 90.28 m → S 72.807958°
W 79.983215°		 →
↑
90.28 m
↓
↑
90.28 m
↓
S 72.808769°
W 79.985962°		 ← 90.27 m →
8 150 m²		 S 72.808769°
W 79.983215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277820587158203 y=0.800708770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277820587158203 × 217)
    floor (0.277820587158203 × 131072)
    floor (36414.5)     		tx = 36414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800708770751953 × 217)
    floor (0.800708770751953 × 131072)
    floor (104950.5)     		ty = 104950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36414 / 104950 ti = "17/36414/104950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36414/104950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36414 ÷ 217
    36414 ÷ 131072     		x = 0.277816772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104950 ÷ 217
    104950 ÷ 131072     		y = 0.800704956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277816772460938 × 2 - 1) × π
    -0.444366455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39601839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800704956054688 × 2 - 1) × π
    -0.601409912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88938496162489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39601839} λ = -1.39601839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88938496162489))-π/2
    2×atan(0.151164752375194)-π/2
    2×0.15002887463774-π/2
    0.30005774927548-1.57079632675     		φ = -1.27073858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39601839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.985962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27073858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.807958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36414 KachelY 104950 -1.39601839 -1.27073858 -79.985962 -72.807958
    Oben rechts KachelX + 1 36415 KachelY 104950 -1.39597045 -1.27073858 -79.983215 -72.807958
    Unten links KachelX 36414 KachelY + 1 104951 -1.39601839 -1.27075275 -79.985962 -72.808769
    Unten rechts KachelX + 1 36415 KachelY + 1 104951 -1.39597045 -1.27075275 -79.983215 -72.808769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27073858--1.27075275) × R
    1.41700000000355e-05 × 6371000     		dl = 90.2770700002264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27073858--1.27075275) × R
    1.41700000000355e-05 × 6371000     		dr = 90.2770700002264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39601839--1.39597045) × cos(-1.27073858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295575373788869 × 6371000     		do = 90.2763272651828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39601839--1.39597045) × cos(-1.27075275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295561836882983 × 6371000     		du = 90.2721927456852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27073858)-sin(-1.27075275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295575373788869-0.295561836882983)×R²
    abs(-1.39597045--1.39601839)×1.35369058861246e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35369058861246e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35369058861246e-05×40589641000000     		ar = 8149.69569001503m²