Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36413 / 105179
↖ ↑ ↗
← S 72.992893°
W 79.988709°		 ← 89.33 m → S 72.992893°
W 79.985962°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 72.993696°
W 79.988709°		 ← 89.33 m →
7 979 m²		 S 72.993696°
W 79.985962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277812957763672 y=0.802455902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277812957763672 × 217)
    floor (0.277812957763672 × 131072)
    floor (36413.5)     		tx = 36413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802455902099609 × 217)
    floor (0.802455902099609 × 131072)
    floor (105179.5)     		ty = 105179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36413 / 105179 ti = "17/36413/105179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36413/105179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36413 ÷ 217
    36413 ÷ 131072     		x = 0.277809143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105179 ÷ 217
    105179 ÷ 131072     		y = 0.802452087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277809143066406 × 2 - 1) × π
    -0.444381713867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39606633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802452087402344 × 2 - 1) × π
    -0.604904174804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.90036251163789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39606633} λ = -1.39606633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90036251163789))-π/2
    2×atan(0.149514408684074)-π/2
    2×0.148415007880004-π/2
    0.296830015760009-1.57079632675     		φ = -1.27396631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39606633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.988709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27396631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.992893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36413 KachelY 105179 -1.39606633 -1.27396631 -79.988709 -72.992893
    Oben rechts KachelX + 1 36414 KachelY 105179 -1.39601839 -1.27396631 -79.985962 -72.992893
    Unten links KachelX 36413 KachelY + 1 105180 -1.39606633 -1.27398033 -79.988709 -72.993696
    Unten rechts KachelX + 1 36414 KachelY + 1 105180 -1.39601839 -1.27398033 -79.985962 -72.993696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27396631--1.27398033) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27396631--1.27398033) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39606633--1.39601839) × cos(-1.27396631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292490326298023 × 6371000     		do = 89.3340743523565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39606633--1.39601839) × cos(-1.27398033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292476919385164 × 6371000     		du = 89.3299795360756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27396631)-sin(-1.27398033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292490326298023-0.292476919385164)×R²
    abs(-1.39601839--1.39606633)×1.34069128585601e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34069128585601e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34069128585601e-05×40589641000000     		ar = 7979.26349836202m²