Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3641 / 2260
↖ ↑ ↗
← N 62.512318°
W 19.995117°		 ← 2 255.40 m → N 62.512318°
W 19.951172°		 →
↑
2 256.16 m
↓
↑
2 256.16 m
↓
N 62.492028°
W 19.995117°		 ← 2 256.93 m →
5 090 279 m²		 N 62.492028°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44451904296875 y=0.27593994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44451904296875 × 213)
    floor (0.44451904296875 × 8192)
    floor (3641.5)     		tx = 3641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27593994140625 × 213)
    floor (0.27593994140625 × 8192)
    floor (2260.5)     		ty = 2260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3641 / 2260 ti = "13/3641/2260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3641/2260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3641 ÷ 213
    3641 ÷ 8192     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2260 ÷ 213
    2260 ÷ 8192     		y = 0.27587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27587890625 × 2 - 1) × π
    0.4482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40819436323877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40819436323877))-π/2
    2×atan(4.08856626947534)-π/2
    2×1.33092104892734-π/2
    2.66184209785468-1.57079632675     		φ = 1.09104577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09104577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.512318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3641 KachelY 2260 -0.34898063 1.09104577 -19.995117 62.512318
    Oben rechts KachelX + 1 3642 KachelY 2260 -0.34821364 1.09104577 -19.951172 62.512318
    Unten links KachelX 3641 KachelY + 1 2261 -0.34898063 1.09069164 -19.995117 62.492028
    Unten rechts KachelX + 1 3642 KachelY + 1 2261 -0.34821364 1.09069164 -19.951172 62.492028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09104577-1.09069164) × R
    0.000354130000000064 × 6371000     		dl = 2256.16223000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09104577-1.09069164) × R
    0.000354130000000064 × 6371000     		dr = 2256.16223000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34821364) × cos(1.09104577) × R
    0.000766990000000023 × 0.461557906320937 × 6371000     		do = 2255.39961218378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34821364) × cos(1.09069164) × R
    0.000766990000000023 × 0.461872029666475 × 6371000     		du = 2256.93457380398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09104577)-sin(1.09069164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461557906320937-0.461872029666475)×R²
    abs(-0.34821364--0.34898063)×0.000314123345537431×R²
    0.000766990000000023×0.000314123345537431×6371000²
    0.000766990000000023×0.000314123345537431×40589641000000     		ar = 5090279.03297813m²