Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36406 / 48113
↖ ↑ ↗
← S 64.132180°
E 19.984131°		 ← 266.51 m → S 64.132180°
E 19.989624°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 64.134577°
E 19.984131°		 ← 266.49 m →
71 022 m²		 S 64.134577°
E 19.989624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555519104003906 y=0.734153747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555519104003906 × 216)
    floor (0.555519104003906 × 65536)
    floor (36406.5)     		tx = 36406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734153747558594 × 216)
    floor (0.734153747558594 × 65536)
    floor (48113.5)     		ty = 48113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36406 / 48113 ti = "16/36406/48113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36406/48113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36406 ÷ 216
    36406 ÷ 65536     		x = 0.555511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48113 ÷ 216
    48113 ÷ 65536     		y = 0.734146118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555511474609375 × 2 - 1) × π
    0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734146118164062 × 2 - 1) × π
    -0.468292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47118344933952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34878888} λ = 0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47118344933952))-π/2
    2×atan(0.229653540970981)-π/2
    2×0.225739310931287-π/2
    0.451478621862573-1.57079632675     		φ = -1.11931770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11931770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.132180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36406 KachelY 48113 0.34878888 -1.11931770 19.984131 -64.132180
    Oben rechts KachelX + 1 36407 KachelY 48113 0.34888476 -1.11931770 19.989624 -64.132180
    Unten links KachelX 36406 KachelY + 1 48114 0.34878888 -1.11935953 19.984131 -64.134577
    Unten rechts KachelX + 1 36407 KachelY + 1 48114 0.34888476 -1.11935953 19.989624 -64.134577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11931770--1.11935953) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11931770--1.11935953) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34878888-0.34888476) × cos(-1.11931770) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.436296483348421 × 6371000     		do = 266.512352572158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34878888-0.34888476) × cos(-1.11935953) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.436258844208637 × 6371000     		du = 266.489360647915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11931770)-sin(-1.11935953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436296483348421-0.436258844208637)×R²
    abs(0.34888476-0.34878888)×3.76391397846065e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.76391397846065e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.76391397846065e-05×40589641000000     		ar = 71022.1931411277m²